Theorem distel

Description: Distinctors in terms of membership. (NOTE: this only works with relations where we can prove el and elirrv .) (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2010)

	Ref	Expression
Assertion	distel	|- ( -. A. y y = x <-> -. A. y -. x e. y )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		el	|- E. z x e. z
2		df-ex	|- ( E. z x e. z <-> -. A. z -. x e. z )
3		nfnae	|- F/ y -. A. y y = x
4		dveel1	|- ( -. A. y y = x -> ( x e. z -> A. y x e. z ) )
5	3 4	nf5d	|- ( -. A. y y = x -> F/ y x e. z )
6	5	nfnd	|- ( -. A. y y = x -> F/ y -. x e. z )
7		elequ2	|- ( z = y -> ( x e. z <-> x e. y ) )
8	7	notbid	|- ( z = y -> ( -. x e. z <-> -. x e. y ) )
9	8	a1i	|- ( -. A. y y = x -> ( z = y -> ( -. x e. z <-> -. x e. y ) ) )
10	3 6 9	cbvald	|- ( -. A. y y = x -> ( A. z -. x e. z <-> A. y -. x e. y ) )
11	10	notbid	|- ( -. A. y y = x -> ( -. A. z -. x e. z <-> -. A. y -. x e. y ) )
12	2 11	bitrid	|- ( -. A. y y = x -> ( E. z x e. z <-> -. A. y -. x e. y ) )
13	1 12	mpbii	|- ( -. A. y y = x -> -. A. y -. x e. y )
14		elirrv	|- -. y e. y
15		elequ1	|- ( y = x -> ( y e. y <-> x e. y ) )
16	14 15	mtbii	|- ( y = x -> -. x e. y )
17	16	alimi	|- ( A. y y = x -> A. y -. x e. y )
18	17	con3i	|- ( -. A. y -. x e. y -> -. A. y y = x )
19	13 18	impbii	|- ( -. A. y y = x <-> -. A. y -. x e. y )