Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ditgcl.x |
|- ( ph -> X e. RR ) |
2 |
|
ditgcl.y |
|- ( ph -> Y e. RR ) |
3 |
|
ditgcl.a |
|- ( ph -> A e. ( X [,] Y ) ) |
4 |
|
ditgcl.b |
|- ( ph -> B e. ( X [,] Y ) ) |
5 |
|
ditgcl.c |
|- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> C e. V ) |
6 |
|
ditgcl.i |
|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) e. L^1 ) |
7 |
|
elicc2 |
|- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( A e. ( X [,] Y ) <-> ( A e. RR /\ X <_ A /\ A <_ Y ) ) ) |
8 |
1 2 7
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( A e. ( X [,] Y ) <-> ( A e. RR /\ X <_ A /\ A <_ Y ) ) ) |
9 |
3 8
|
mpbid |
|- ( ph -> ( A e. RR /\ X <_ A /\ A <_ Y ) ) |
10 |
9
|
simp1d |
|- ( ph -> A e. RR ) |
11 |
|
elicc2 |
|- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( B e. ( X [,] Y ) <-> ( B e. RR /\ X <_ B /\ B <_ Y ) ) ) |
12 |
1 2 11
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( B e. ( X [,] Y ) <-> ( B e. RR /\ X <_ B /\ B <_ Y ) ) ) |
13 |
4 12
|
mpbid |
|- ( ph -> ( B e. RR /\ X <_ B /\ B <_ Y ) ) |
14 |
13
|
simp1d |
|- ( ph -> B e. RR ) |
15 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A <_ B ) |
16 |
15
|
ditgpos |
|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> S_ [ A -> B ] C _d x = S. ( A (,) B ) C _d x ) |
17 |
1
|
rexrd |
|- ( ph -> X e. RR* ) |
18 |
9
|
simp2d |
|- ( ph -> X <_ A ) |
19 |
|
iooss1 |
|- ( ( X e. RR* /\ X <_ A ) -> ( A (,) B ) C_ ( X (,) B ) ) |
20 |
17 18 19
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( X (,) B ) ) |
21 |
2
|
rexrd |
|- ( ph -> Y e. RR* ) |
22 |
13
|
simp3d |
|- ( ph -> B <_ Y ) |
23 |
|
iooss2 |
|- ( ( Y e. RR* /\ B <_ Y ) -> ( X (,) B ) C_ ( X (,) Y ) ) |
24 |
21 22 23
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( X (,) B ) C_ ( X (,) Y ) ) |
25 |
20 24
|
sstrd |
|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( X (,) Y ) ) |
26 |
25
|
sselda |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. ( X (,) Y ) ) |
27 |
26 5
|
syldan |
|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> C e. V ) |
28 |
|
ioombl |
|- ( A (,) B ) e. dom vol |
29 |
28
|
a1i |
|- ( ph -> ( A (,) B ) e. dom vol ) |
30 |
25 29 5 6
|
iblss |
|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> C ) e. L^1 ) |
31 |
27 30
|
itgcl |
|- ( ph -> S. ( A (,) B ) C _d x e. CC ) |
32 |
31
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> S. ( A (,) B ) C _d x e. CC ) |
33 |
16 32
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> S_ [ A -> B ] C _d x e. CC ) |
34 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> B <_ A ) |
35 |
14
|
adantr |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> B e. RR ) |
36 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> A e. RR ) |
37 |
34 35 36
|
ditgneg |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> S_ [ A -> B ] C _d x = -u S. ( B (,) A ) C _d x ) |
38 |
13
|
simp2d |
|- ( ph -> X <_ B ) |
39 |
|
iooss1 |
|- ( ( X e. RR* /\ X <_ B ) -> ( B (,) A ) C_ ( X (,) A ) ) |
40 |
17 38 39
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( B (,) A ) C_ ( X (,) A ) ) |
41 |
9
|
simp3d |
|- ( ph -> A <_ Y ) |
42 |
|
iooss2 |
|- ( ( Y e. RR* /\ A <_ Y ) -> ( X (,) A ) C_ ( X (,) Y ) ) |
43 |
21 41 42
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( X (,) A ) C_ ( X (,) Y ) ) |
44 |
40 43
|
sstrd |
|- ( ph -> ( B (,) A ) C_ ( X (,) Y ) ) |
45 |
44
|
sselda |
|- ( ( ph /\ x e. ( B (,) A ) ) -> x e. ( X (,) Y ) ) |
46 |
45 5
|
syldan |
|- ( ( ph /\ x e. ( B (,) A ) ) -> C e. V ) |
47 |
|
ioombl |
|- ( B (,) A ) e. dom vol |
48 |
47
|
a1i |
|- ( ph -> ( B (,) A ) e. dom vol ) |
49 |
44 48 5 6
|
iblss |
|- ( ph -> ( x e. ( B (,) A ) |-> C ) e. L^1 ) |
50 |
46 49
|
itgcl |
|- ( ph -> S. ( B (,) A ) C _d x e. CC ) |
51 |
50
|
negcld |
|- ( ph -> -u S. ( B (,) A ) C _d x e. CC ) |
52 |
51
|
adantr |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> -u S. ( B (,) A ) C _d x e. CC ) |
53 |
37 52
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> S_ [ A -> B ] C _d x e. CC ) |
54 |
10 14 33 53
|
lecasei |
|- ( ph -> S_ [ A -> B ] C _d x e. CC ) |