Metamath Proof Explorer

Theorem djhcl

Description: Closure of subspace join for DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014)

Ref Expression
Hypotheses djhcl.h 
|- H = ( LHyp ` K )
djhcl.i 
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
djhcl.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
djhcl.v 
|- V = ( Base ` U )
djhcl.j 
|- .\/ = ( ( joinH ` K ) ` W )
Assertion djhcl 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> ( X .\/ Y ) e. ran I )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 djhcl.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 djhcl.i 
 |-  I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
3 djhcl.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
4 djhcl.v 
 |-  V = ( Base ` U )
5 djhcl.j 
 |-  .\/ = ( ( joinH ` K ) ` W )
6 eqid 
 |-  ( ( ocH ` K ) ` W ) = ( ( ocH ` K ) ` W )
7 1 3 4 6 5 djhval 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> ( X .\/ Y ) = ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` X ) i^i ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` Y ) ) ) )
8 inss1 
 |-  ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` X ) i^i ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` Y ) ) C_ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` X )
9 1 2 3 4 6 dochcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` X ) e. ran I )
10 9 adantrr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` X ) e. ran I )
11 1 3 2 4 dihrnss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` X ) e. ran I ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` X ) C_ V )
12 10 11 syldan 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` X ) C_ V )
13 8 12 sstrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` X ) i^i ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` Y ) ) C_ V )
14 1 2 3 4 6 dochcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` X ) i^i ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` Y ) ) C_ V ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` X ) i^i ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` Y ) ) ) e. ran I )
15 13 14 syldan 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` ( ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` X ) i^i ( ( ( ocH ` K ) ` W ) ` Y ) ) ) e. ran I )
16 7 15 eqeltrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> ( X .\/ Y ) e. ran I )