Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
19.8a |
|- ( ( x e. A /\ x R y ) -> E. x ( x e. A /\ x R y ) ) |
2 |
1
|
ancoms |
|- ( ( x R y /\ x e. A ) -> E. x ( x e. A /\ x R y ) ) |
3 |
|
vex |
|- y e. _V |
4 |
3
|
elima2 |
|- ( y e. ( R " A ) <-> E. x ( x e. A /\ x R y ) ) |
5 |
2 4
|
sylibr |
|- ( ( x R y /\ x e. A ) -> y e. ( R " A ) ) |
6 |
|
simpl |
|- ( ( x R y /\ x e. A ) -> x R y ) |
7 |
|
vex |
|- x e. _V |
8 |
3 7
|
brcnv |
|- ( y `' R x <-> x R y ) |
9 |
6 8
|
sylibr |
|- ( ( x R y /\ x e. A ) -> y `' R x ) |
10 |
5 9
|
jca |
|- ( ( x R y /\ x e. A ) -> ( y e. ( R " A ) /\ y `' R x ) ) |
11 |
10
|
eximi |
|- ( E. y ( x R y /\ x e. A ) -> E. y ( y e. ( R " A ) /\ y `' R x ) ) |
12 |
7
|
eldm |
|- ( x e. dom R <-> E. y x R y ) |
13 |
12
|
anbi1i |
|- ( ( x e. dom R /\ x e. A ) <-> ( E. y x R y /\ x e. A ) ) |
14 |
|
elin |
|- ( x e. ( dom R i^i A ) <-> ( x e. dom R /\ x e. A ) ) |
15 |
|
19.41v |
|- ( E. y ( x R y /\ x e. A ) <-> ( E. y x R y /\ x e. A ) ) |
16 |
13 14 15
|
3bitr4i |
|- ( x e. ( dom R i^i A ) <-> E. y ( x R y /\ x e. A ) ) |
17 |
7
|
elima2 |
|- ( x e. ( `' R " ( R " A ) ) <-> E. y ( y e. ( R " A ) /\ y `' R x ) ) |
18 |
11 16 17
|
3imtr4i |
|- ( x e. ( dom R i^i A ) -> x e. ( `' R " ( R " A ) ) ) |
19 |
18
|
ssriv |
|- ( dom R i^i A ) C_ ( `' R " ( R " A ) ) |