Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eliuniin.1 |
|- A = U_ x e. B |^|_ y e. C D |
2 |
1
|
eleq2i |
|- ( Z e. A <-> Z e. U_ x e. B |^|_ y e. C D ) |
3 |
|
eliun |
|- ( Z e. U_ x e. B |^|_ y e. C D <-> E. x e. B Z e. |^|_ y e. C D ) |
4 |
2 3
|
sylbb |
|- ( Z e. A -> E. x e. B Z e. |^|_ y e. C D ) |
5 |
|
eliin |
|- ( Z e. |^|_ y e. C D -> ( Z e. |^|_ y e. C D <-> A. y e. C Z e. D ) ) |
6 |
5
|
ibi |
|- ( Z e. |^|_ y e. C D -> A. y e. C Z e. D ) |
7 |
6
|
a1i |
|- ( Z e. A -> ( Z e. |^|_ y e. C D -> A. y e. C Z e. D ) ) |
8 |
7
|
reximdv |
|- ( Z e. A -> ( E. x e. B Z e. |^|_ y e. C D -> E. x e. B A. y e. C Z e. D ) ) |
9 |
4 8
|
mpd |
|- ( Z e. A -> E. x e. B A. y e. C Z e. D ) |
10 |
|
simp2 |
|- ( ( Z e. V /\ x e. B /\ A. y e. C Z e. D ) -> x e. B ) |
11 |
|
eliin |
|- ( Z e. V -> ( Z e. |^|_ y e. C D <-> A. y e. C Z e. D ) ) |
12 |
11
|
biimpar |
|- ( ( Z e. V /\ A. y e. C Z e. D ) -> Z e. |^|_ y e. C D ) |
13 |
|
rspe |
|- ( ( x e. B /\ Z e. |^|_ y e. C D ) -> E. x e. B Z e. |^|_ y e. C D ) |
14 |
10 12 13
|
3imp3i2an |
|- ( ( Z e. V /\ x e. B /\ A. y e. C Z e. D ) -> E. x e. B Z e. |^|_ y e. C D ) |
15 |
14 3
|
sylibr |
|- ( ( Z e. V /\ x e. B /\ A. y e. C Z e. D ) -> Z e. U_ x e. B |^|_ y e. C D ) |
16 |
15 2
|
sylibr |
|- ( ( Z e. V /\ x e. B /\ A. y e. C Z e. D ) -> Z e. A ) |
17 |
16
|
rexlimdv3a |
|- ( Z e. V -> ( E. x e. B A. y e. C Z e. D -> Z e. A ) ) |
18 |
9 17
|
impbid2 |
|- ( Z e. V -> ( Z e. A <-> E. x e. B A. y e. C Z e. D ) ) |