Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dftrrels3 |
|- TrRels = { r e. Rels | A. x A. y A. z ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) } |
2 |
|
breq |
|- ( r = R -> ( x r y <-> x R y ) ) |
3 |
|
breq |
|- ( r = R -> ( y r z <-> y R z ) ) |
4 |
2 3
|
anbi12d |
|- ( r = R -> ( ( x r y /\ y r z ) <-> ( x R y /\ y R z ) ) ) |
5 |
|
breq |
|- ( r = R -> ( x r z <-> x R z ) ) |
6 |
4 5
|
imbi12d |
|- ( r = R -> ( ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) <-> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) |
7 |
6
|
2albidv |
|- ( r = R -> ( A. y A. z ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) <-> A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) |
8 |
7
|
albidv |
|- ( r = R -> ( A. x A. y A. z ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) <-> A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) |
9 |
1 8
|
rabeqel |
|- ( R e. TrRels <-> ( A. x A. y A. z ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) /\ R e. Rels ) ) |