Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
etransclem3.n |
|- ( ph -> P e. NN ) |
2 |
|
etransclem3.c |
|- ( ph -> C : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) ) |
3 |
|
etransclem3.j |
|- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) ) |
4 |
|
etransclem3.4 |
|- ( ph -> K e. ZZ ) |
5 |
|
0zd |
|- ( ( ph /\ P < ( C ` J ) ) -> 0 e. ZZ ) |
6 |
|
0zd |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> 0 e. ZZ ) |
7 |
1
|
nnzd |
|- ( ph -> P e. ZZ ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> P e. ZZ ) |
9 |
2 3
|
ffvelrnd |
|- ( ph -> ( C ` J ) e. ( 0 ... N ) ) |
10 |
9
|
elfzelzd |
|- ( ph -> ( C ` J ) e. ZZ ) |
11 |
7 10
|
zsubcld |
|- ( ph -> ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ ) |
13 |
6 8 12
|
3jca |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ ) ) |
14 |
10
|
zred |
|- ( ph -> ( C ` J ) e. RR ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( C ` J ) e. RR ) |
16 |
8
|
zred |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> P e. RR ) |
17 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> -. P < ( C ` J ) ) |
18 |
15 16 17
|
nltled |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( C ` J ) <_ P ) |
19 |
16 15
|
subge0d |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) <-> ( C ` J ) <_ P ) ) |
20 |
18 19
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) ) |
21 |
|
elfzle1 |
|- ( ( C ` J ) e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ ( C ` J ) ) |
22 |
9 21
|
syl |
|- ( ph -> 0 <_ ( C ` J ) ) |
23 |
1
|
nnred |
|- ( ph -> P e. RR ) |
24 |
23 14
|
subge02d |
|- ( ph -> ( 0 <_ ( C ` J ) <-> ( P - ( C ` J ) ) <_ P ) ) |
25 |
22 24
|
mpbid |
|- ( ph -> ( P - ( C ` J ) ) <_ P ) |
26 |
25
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) <_ P ) |
27 |
13 20 26
|
jca32 |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) /\ ( P - ( C ` J ) ) <_ P ) ) ) |
28 |
|
elfz2 |
|- ( ( P - ( C ` J ) ) e. ( 0 ... P ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) /\ ( P - ( C ` J ) ) <_ P ) ) ) |
29 |
27 28
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. ( 0 ... P ) ) |
30 |
|
permnn |
|- ( ( P - ( C ` J ) ) e. ( 0 ... P ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. NN ) |
31 |
29 30
|
syl |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. NN ) |
32 |
31
|
nnzd |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. ZZ ) |
33 |
3
|
elfzelzd |
|- ( ph -> J e. ZZ ) |
34 |
4 33
|
zsubcld |
|- ( ph -> ( K - J ) e. ZZ ) |
35 |
34
|
adantr |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( K - J ) e. ZZ ) |
36 |
|
elnn0z |
|- ( ( P - ( C ` J ) ) e. NN0 <-> ( ( P - ( C ` J ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( P - ( C ` J ) ) ) ) |
37 |
12 20 36
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( P - ( C ` J ) ) e. NN0 ) |
38 |
|
zexpcl |
|- ( ( ( K - J ) e. ZZ /\ ( P - ( C ` J ) ) e. NN0 ) -> ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) e. ZZ ) |
39 |
35 37 38
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) e. ZZ ) |
40 |
32 39
|
zmulcld |
|- ( ( ph /\ -. P < ( C ` J ) ) -> ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) e. ZZ ) |
41 |
5 40
|
ifclda |
|- ( ph -> if ( P < ( C ` J ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( C ` J ) ) ) ) x. ( ( K - J ) ^ ( P - ( C ` J ) ) ) ) ) e. ZZ ) |