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## Theorem fiming

Description: A finite set has a minimum under a total order. (Contributed by AV, 6-Oct-2020)

Ref Expression
Assertion fiming
`|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fimin2g
` |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A -. y R x )`
2 nesym
` |-  ( x =/= y <-> -. y = x )`
3 2 imbi1i
` |-  ( ( x =/= y -> x R y ) <-> ( -. y = x -> x R y ) )`
4 pm4.64
` |-  ( ( -. y = x -> x R y ) <-> ( y = x \/ x R y ) )`
5 3 4 bitri
` |-  ( ( x =/= y -> x R y ) <-> ( y = x \/ x R y ) )`
6 sotric
` |-  ( ( R Or A /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> ( y R x <-> -. ( y = x \/ x R y ) ) )`
7 6 ancom2s
` |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( y R x <-> -. ( y = x \/ x R y ) ) )`
8 7 con2bid
` |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( y = x \/ x R y ) <-> -. y R x ) )`
9 5 8 syl5bb
` |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( ( x =/= y -> x R y ) <-> -. y R x ) )`
10 9 anassrs
` |-  ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x =/= y -> x R y ) <-> -. y R x ) )`
11 10 ralbidva
` |-  ( ( R Or A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) <-> A. y e. A -. y R x ) )`
12 11 rexbidva
` |-  ( R Or A -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) <-> E. x e. A A. y e. A -. y R x ) )`
` |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) <-> E. x e. A A. y e. A -. y R x ) )`
` |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) )`