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Theorem fiinfg

Description: Lemma showing existence and closure of infimum of a finite set. (Contributed by AV, 6-Oct-2020)

Ref Expression
Assertion fiinfg 
|- ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fiming 
 |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) )
2 equcom 
 |-  ( x = y <-> y = x )
3 sotrieq2 
 |-  ( ( R Or A /\ ( y e. A /\ x e. A ) ) -> ( y = x <-> ( -. y R x /\ -. x R y ) ) )
4 3 ancom2s 
 |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( y = x <-> ( -. y R x /\ -. x R y ) ) )
5 2 4 syl5bb 
 |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x = y <-> ( -. y R x /\ -. x R y ) ) )
6 5 simprbda 
 |-  ( ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) /\ x = y ) -> -. y R x )
7 6 ex 
 |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x = y -> -. y R x ) )
8 7 anassrs 
 |-  ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x = y -> -. y R x ) )
9 8 a1dd 
 |-  ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x = y -> ( ( x =/= y -> x R y ) -> -. y R x ) ) )
10 pm2.27 
 |-  ( x =/= y -> ( ( x =/= y -> x R y ) -> x R y ) )
11 soasym 
 |-  ( ( R Or A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> ( x R y -> -. y R x ) )
12 11 anassrs 
 |-  ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x R y -> -. y R x ) )
13 10 12 syl9r 
 |-  ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( x =/= y -> ( ( x =/= y -> x R y ) -> -. y R x ) ) )
14 9 13 pm2.61dne 
 |-  ( ( ( R Or A /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x =/= y -> x R y ) -> -. y R x ) )
15 14 ralimdva 
 |-  ( ( R Or A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) -> A. y e. A -. y R x ) )
16 breq1 
 |-  ( z = x -> ( z R y <-> x R y ) )
17 16 rspcev 
 |-  ( ( x e. A /\ x R y ) -> E. z e. A z R y )
18 17 ex 
 |-  ( x e. A -> ( x R y -> E. z e. A z R y ) )
19 18 ralrimivw 
 |-  ( x e. A -> A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) )
20 19 adantl 
 |-  ( ( R Or A /\ x e. A ) -> A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) )
21 15 20 jctird 
 |-  ( ( R Or A /\ x e. A ) -> ( A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) -> ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) )
22 21 reximdva 
 |-  ( R Or A -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) )
23 22 3ad2ant1 
 |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> ( E. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> x R y ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) ) )
24 1 23 mpd 
 |-  ( ( R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. A z R y ) ) )