Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
grpsubcl.b |
|- B = ( Base ` G ) |
2 |
|
grpsubcl.m |
|- .- = ( -g ` G ) |
3 |
|
grpinvsub.n |
|- N = ( invg ` G ) |
4 |
1 3
|
grpinvcl |
|- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B ) |
5 |
4
|
3adant2 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B ) |
6 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
7 |
1 6 3
|
grpinvadd |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ ( N ` Y ) e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) ) |
8 |
5 7
|
syld3an3 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) ) |
9 |
1 3
|
grpinvinv |
|- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y ) |
10 |
9
|
3adant2 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( N ` Y ) ) = Y ) |
11 |
10
|
oveq1d |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` ( N ` Y ) ) ( +g ` G ) ( N ` X ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) ) |
12 |
8 11
|
eqtrd |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) ) |
13 |
1 6 3 2
|
grpsubval |
|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) |
14 |
13
|
3adant1 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .- Y ) = ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) |
15 |
14
|
fveq2d |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .- Y ) ) = ( N ` ( X ( +g ` G ) ( N ` Y ) ) ) ) |
16 |
1 6 3 2
|
grpsubval |
|- ( ( Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) ) |
17 |
16
|
ancoms |
|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) ) |
18 |
17
|
3adant1 |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .- X ) = ( Y ( +g ` G ) ( N ` X ) ) ) |
19 |
12 15 18
|
3eqtr4d |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .- Y ) ) = ( Y .- X ) ) |