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Theorem grpinvadd

Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of Herstein p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006)

Ref Expression
Hypotheses grpinvadd.b 
|- B = ( Base ` G )
grpinvadd.p 
|- .+ = ( +g ` G )
grpinvadd.n 
|- N = ( invg ` G )
Assertion grpinvadd 
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 grpinvadd.b 
 |-  B = ( Base ` G )
2 grpinvadd.p 
 |-  .+ = ( +g ` G )
3 grpinvadd.n 
 |-  N = ( invg ` G )
4 simp1 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp )
5 simp2 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
6 simp3 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
7 1 3 grpinvcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
8 7 3adant2 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B )
9 1 3 grpinvcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
10 9 3adant3 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` X ) e. B )
11 1 2 grpcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( N ` Y ) e. B /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B )
12 4 8 10 11 syl3anc 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B )
13 1 2 grpass 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) )
14 4 5 6 12 13 syl13anc 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) )
15 eqid 
 |-  ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
16 1 2 15 3 grprinv 
 |-  ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( N ` Y ) ) = ( 0g ` G ) )
17 16 3adant2 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( N ` Y ) ) = ( 0g ` G ) )
18 17 oveq1d 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) )
19 1 2 grpass 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ ( N ` Y ) e. B /\ ( N ` X ) e. B ) ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) )
20 4 6 8 10 19 syl13anc 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( Y .+ ( N ` Y ) ) .+ ( N ` X ) ) = ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) )
21 1 2 15 grplid 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( N ` X ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
22 4 10 21 syl2anc 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( N ` X ) ) = ( N ` X ) )
23 18 20 22 3eqtr3d 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( N ` X ) )
24 23 oveq2d 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( Y .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) ) = ( X .+ ( N ` X ) ) )
25 1 2 15 3 grprinv 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
26 25 3adant3 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( N ` X ) ) = ( 0g ` G ) )
27 14 24 26 3eqtrd 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) )
28 1 2 grpcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
29 1 2 15 3 grpinvid1 
 |-  ( ( G e. Grp /\ ( X .+ Y ) e. B /\ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) e. B ) -> ( ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) <-> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) ) )
30 4 28 12 29 syl3anc 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) <-> ( ( X .+ Y ) .+ ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) = ( 0g ` G ) ) )
31 27 30 mpbird 
 |-  ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) )