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Theorem grpinvadd

Description: The inverse of the group operation reverses the arguments. Lemma 2.2.1(d) of Herstein p. 55. (Contributed by NM, 27-Oct-2006)

Ref Expression
Hypotheses grpinvadd.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
grpinvadd.p ⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 )
grpinvadd.n ⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝐺 )
Assertion grpinvadd ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 grpinvadd.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 grpinvadd.p ⊢ + = ( +g ‘ 𝐺 )
3 grpinvadd.n ⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝐺 )
4 simp1 ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝐺 ∈ Grp )
5 simp2 ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
6 simp3 ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
7 1 3 grpinvcl ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
8 7 3adant2 ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
9 1 3 grpinvcl ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
10 9 3adant3 ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 )
11 1 2 grpcl ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 )
12 4 8 10 11 syl3anc ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 )
13 1 2 grpass ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑌 + ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ) ) )
14 4 5 6 12 13 syl13anc ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑌 + ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ) ) )
15 eqid ⊢ ( 0g ‘ 𝐺 ) = ( 0g ‘ 𝐺 )
16 1 2 15 3 grprinv ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 + ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) )
17 16 3adant2 ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 + ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) )
18 17 oveq1d ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑌 + ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 0g ‘ 𝐺 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )
19 1 2 grpass ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑌 + ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑌 + ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ) )
20 4 6 8 10 19 syl13anc ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑌 + ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑌 + ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ) )
21 1 2 15 grplid ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 0g ‘ 𝐺 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) )
22 4 10 21 syl2anc ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 0g ‘ 𝐺 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) )
23 18 20 22 3eqtr3d ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑌 + ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) )
24 23 oveq2d ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 + ( 𝑌 + ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )
25 1 2 15 3 grprinv ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) )
26 25 3adant3 ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) )
27 14 24 26 3eqtrd ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) )
28 1 2 grpcl ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
29 1 2 15 3 grpinvid1 ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑋 + 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ↔ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) )
30 4 28 12 29 syl3anc ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ↔ ( ( 𝑋 + 𝑌 ) + ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) )
31 27 30 mpbird ⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ‘ ( 𝑋 + 𝑌 ) ) = ( ( 𝑁 ‘ 𝑌 ) + ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ) )