Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gsumbagdiag.d |
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |
2 |
|
gsumbagdiag.s |
|- S = { y e. D | y oR <_ F } |
3 |
|
gsumbagdiag.f |
|- ( ph -> F e. D ) |
4 |
|
gsumbagdiag.b |
|- B = ( Base ` G ) |
5 |
|
gsumbagdiag.g |
|- ( ph -> G e. CMnd ) |
6 |
|
gsumbagdiag.x |
|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> X e. B ) |
7 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
8 |
1
|
psrbaglefi |
|- ( F e. D -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin ) |
9 |
3 8
|
syl |
|- ( ph -> { y e. D | y oR <_ F } e. Fin ) |
10 |
2 9
|
eqeltrid |
|- ( ph -> S e. Fin ) |
11 |
|
ovex |
|- ( NN0 ^m I ) e. _V |
12 |
1 11
|
rab2ex |
|- { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. _V |
13 |
12
|
a1i |
|- ( ( ph /\ j e. S ) -> { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } e. _V ) |
14 |
|
xpfi |
|- ( ( S e. Fin /\ S e. Fin ) -> ( S X. S ) e. Fin ) |
15 |
10 10 14
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( S X. S ) e. Fin ) |
16 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> j e. S ) |
17 |
1 2 3
|
gsumbagdiaglem |
|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( k e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - k ) } ) ) |
18 |
17
|
simpld |
|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> k e. S ) |
19 |
|
brxp |
|- ( j ( S X. S ) k <-> ( j e. S /\ k e. S ) ) |
20 |
16 18 19
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> j ( S X. S ) k ) |
21 |
20
|
pm2.24d |
|- ( ( ph /\ ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) -> ( -. j ( S X. S ) k -> X = ( 0g ` G ) ) ) |
22 |
21
|
impr |
|- ( ( ph /\ ( ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) /\ -. j ( S X. S ) k ) ) -> X = ( 0g ` G ) ) |
23 |
1 2 3
|
gsumbagdiaglem |
|- ( ( ph /\ ( k e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - k ) } ) ) -> ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) ) |
24 |
17 23
|
impbida |
|- ( ph -> ( ( j e. S /\ k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } ) <-> ( k e. S /\ j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - k ) } ) ) ) |
25 |
4 7 5 10 13 6 15 22 10 24
|
gsumcom2 |
|- ( ph -> ( G gsum ( j e. S , k e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - j ) } |-> X ) ) = ( G gsum ( k e. S , j e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - k ) } |-> X ) ) ) |