Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gsumbagdiag.d |
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |
2 |
|
gsumbagdiag.s |
|- S = { y e. D | y oR <_ F } |
3 |
|
gsumbagdiag.f |
|- ( ph -> F e. D ) |
4 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) |
5 |
|
breq1 |
|- ( x = Y -> ( x oR <_ ( F oF - X ) <-> Y oR <_ ( F oF - X ) ) ) |
6 |
5
|
elrab |
|- ( Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } <-> ( Y e. D /\ Y oR <_ ( F oF - X ) ) ) |
7 |
4 6
|
sylib |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y e. D /\ Y oR <_ ( F oF - X ) ) ) |
8 |
7
|
simpld |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. D ) |
9 |
7
|
simprd |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y oR <_ ( F oF - X ) ) |
10 |
3
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F e. D ) |
11 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. S ) |
12 |
|
breq1 |
|- ( y = X -> ( y oR <_ F <-> X oR <_ F ) ) |
13 |
12 2
|
elrab2 |
|- ( X e. S <-> ( X e. D /\ X oR <_ F ) ) |
14 |
11 13
|
sylib |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( X e. D /\ X oR <_ F ) ) |
15 |
14
|
simpld |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. D ) |
16 |
1
|
psrbagf |
|- ( X e. D -> X : I --> NN0 ) |
17 |
15 16
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X : I --> NN0 ) |
18 |
14
|
simprd |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X oR <_ F ) |
19 |
1
|
psrbagcon |
|- ( ( F e. D /\ X : I --> NN0 /\ X oR <_ F ) -> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) ) |
20 |
10 17 18 19
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( ( F oF - X ) e. D /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) ) |
21 |
20
|
simprd |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) oR <_ F ) |
22 |
1
|
psrbagf |
|- ( F e. D -> F : I --> NN0 ) |
23 |
10 22
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F : I --> NN0 ) |
24 |
23
|
ffnd |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> F Fn I ) |
25 |
10 24
|
fndmexd |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> I e. _V ) |
26 |
1
|
psrbagf |
|- ( Y e. D -> Y : I --> NN0 ) |
27 |
8 26
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y : I --> NN0 ) |
28 |
20
|
simpld |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) e. D ) |
29 |
1
|
psrbagf |
|- ( ( F oF - X ) e. D -> ( F oF - X ) : I --> NN0 ) |
30 |
28 29
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) : I --> NN0 ) |
31 |
|
nn0re |
|- ( u e. NN0 -> u e. RR ) |
32 |
|
nn0re |
|- ( v e. NN0 -> v e. RR ) |
33 |
|
nn0re |
|- ( w e. NN0 -> w e. RR ) |
34 |
|
letr |
|- ( ( u e. RR /\ v e. RR /\ w e. RR ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) ) |
35 |
31 32 33 34
|
syl3an |
|- ( ( u e. NN0 /\ v e. NN0 /\ w e. NN0 ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) ) |
36 |
35
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ ( u e. NN0 /\ v e. NN0 /\ w e. NN0 ) ) -> ( ( u <_ v /\ v <_ w ) -> u <_ w ) ) |
37 |
25 27 30 23 36
|
caoftrn |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( ( Y oR <_ ( F oF - X ) /\ ( F oF - X ) oR <_ F ) -> Y oR <_ F ) ) |
38 |
9 21 37
|
mp2and |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y oR <_ F ) |
39 |
|
breq1 |
|- ( y = Y -> ( y oR <_ F <-> Y oR <_ F ) ) |
40 |
39 2
|
elrab2 |
|- ( Y e. S <-> ( Y e. D /\ Y oR <_ F ) ) |
41 |
8 38 40
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y e. S ) |
42 |
|
breq1 |
|- ( x = X -> ( x oR <_ ( F oF - Y ) <-> X oR <_ ( F oF - Y ) ) ) |
43 |
17
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) e. NN0 ) |
44 |
27
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) e. NN0 ) |
45 |
23
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. NN0 ) |
46 |
|
nn0re |
|- ( ( X ` z ) e. NN0 -> ( X ` z ) e. RR ) |
47 |
|
nn0re |
|- ( ( Y ` z ) e. NN0 -> ( Y ` z ) e. RR ) |
48 |
|
nn0re |
|- ( ( F ` z ) e. NN0 -> ( F ` z ) e. RR ) |
49 |
|
leaddsub2 |
|- ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) <_ ( F ` z ) <-> ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) ) |
50 |
|
leaddsub |
|- ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( ( X ` z ) + ( Y ` z ) ) <_ ( F ` z ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) ) |
51 |
49 50
|
bitr3d |
|- ( ( ( X ` z ) e. RR /\ ( Y ` z ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) ) |
52 |
46 47 48 51
|
syl3an |
|- ( ( ( X ` z ) e. NN0 /\ ( Y ` z ) e. NN0 /\ ( F ` z ) e. NN0 ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) ) |
53 |
43 44 45 52
|
syl3anc |
|- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) ) |
54 |
53
|
ralbidva |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( A. z e. I ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) ) |
55 |
|
ovexd |
|- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) e. _V ) |
56 |
27
|
feqmptd |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y = ( z e. I |-> ( Y ` z ) ) ) |
57 |
17
|
ffnd |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X Fn I ) |
58 |
|
inidm |
|- ( I i^i I ) = I |
59 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) ) |
60 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( X ` z ) = ( X ` z ) ) |
61 |
24 57 25 25 58 59 60
|
offval |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - X ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) ) |
62 |
25 44 55 56 61
|
ofrfval2 |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y oR <_ ( F oF - X ) <-> A. z e. I ( Y ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( X ` z ) ) ) ) |
63 |
|
ovexd |
|- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) e. _V ) |
64 |
17
|
feqmptd |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X = ( z e. I |-> ( X ` z ) ) ) |
65 |
27
|
ffnd |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> Y Fn I ) |
66 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) /\ z e. I ) -> ( Y ` z ) = ( Y ` z ) ) |
67 |
24 65 25 25 58 59 66
|
offval |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( F oF - Y ) = ( z e. I |-> ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) ) |
68 |
25 43 63 64 67
|
ofrfval2 |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( X oR <_ ( F oF - Y ) <-> A. z e. I ( X ` z ) <_ ( ( F ` z ) - ( Y ` z ) ) ) ) |
69 |
54 62 68
|
3bitr4d |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y oR <_ ( F oF - X ) <-> X oR <_ ( F oF - Y ) ) ) |
70 |
9 69
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X oR <_ ( F oF - Y ) ) |
71 |
42 15 70
|
elrabd |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } ) |
72 |
41 71
|
jca |
|- ( ( ph /\ ( X e. S /\ Y e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - X ) } ) ) -> ( Y e. S /\ X e. { x e. D | x oR <_ ( F oF - Y ) } ) ) |