Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl |
|- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> J e. Haus ) |
2 |
|
simprll |
|- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x e. ( J fLim F ) ) |
3 |
|
eqid |
|- U. J = U. J |
4 |
3
|
flimelbas |
|- ( x e. ( J fLim F ) -> x e. U. J ) |
5 |
2 4
|
syl |
|- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x e. U. J ) |
6 |
|
simprlr |
|- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> y e. ( J fLim F ) ) |
7 |
3
|
flimelbas |
|- ( y e. ( J fLim F ) -> y e. U. J ) |
8 |
6 7
|
syl |
|- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> y e. U. J ) |
9 |
|
simprr |
|- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x =/= y ) |
10 |
3
|
hausnei |
|- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) |
11 |
1 5 8 9 10
|
syl13anc |
|- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) |
12 |
|
df-3an |
|- ( ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) <-> ( ( x e. u /\ y e. v ) /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) |
13 |
|
simprl |
|- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) |
14 |
|
hausflimlem |
|- ( ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) ) |
15 |
14
|
3expa |
|- ( ( ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) ) |
16 |
13 15
|
sylanl1 |
|- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) ) |
17 |
16
|
a1d |
|- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( x =/= y -> ( u i^i v ) =/= (/) ) ) |
18 |
17
|
necon4d |
|- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( ( u i^i v ) = (/) -> x = y ) ) |
19 |
18
|
expimpd |
|- ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) -> ( ( ( x e. u /\ y e. v ) /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) ) |
20 |
12 19
|
syl5bi |
|- ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) -> ( ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) ) |
21 |
20
|
rexlimdvva |
|- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> ( E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) ) |
22 |
11 21
|
mpd |
|- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x = y ) |
23 |
22
|
expr |
|- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> ( x =/= y -> x = y ) ) |
24 |
23
|
necon1bd |
|- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> ( -. x = y -> x = y ) ) |
25 |
24
|
pm2.18d |
|- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> x = y ) |
26 |
25
|
ex |
|- ( J e. Haus -> ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) ) |
27 |
26
|
alrimivv |
|- ( J e. Haus -> A. x A. y ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) ) |
28 |
|
eleq1w |
|- ( x = y -> ( x e. ( J fLim F ) <-> y e. ( J fLim F ) ) ) |
29 |
28
|
mo4 |
|- ( E* x x e. ( J fLim F ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) ) |
30 |
27 29
|
sylibr |
|- ( J e. Haus -> E* x x e. ( J fLim F ) ) |