Theorem idlrmulcl

Description: An ideal is closed under multiplication on the right. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010)

	Ref	Expression
Hypotheses	idllmulcl.1	|- G = ( 1st ` R )
	idllmulcl.2	|- H = ( 2nd ` R )
	idllmulcl.3	|- X = ran G
Assertion	idlrmulcl	|- ( ( ( R e. RingOps /\ I e. ( Idl ` R ) ) /\ ( A e. I /\ B e. X ) ) -> ( A H B ) e. I )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idllmulcl.1	|- G = ( 1st ` R )
2		idllmulcl.2	|- H = ( 2nd ` R )
3		idllmulcl.3	|- X = ran G
4		eqid	|- ( GId ` G ) = ( GId ` G )
5	1 2 3 4	isidl	|- ( R e. RingOps -> ( I e. ( Idl ` R ) <-> ( I C_ X /\ ( GId ` G ) e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) ) ) )
6	5	biimpa	|- ( ( R e. RingOps /\ I e. ( Idl ` R ) ) -> ( I C_ X /\ ( GId ` G ) e. I /\ A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) ) )
7	6	simp3d	|- ( ( R e. RingOps /\ I e. ( Idl ` R ) ) -> A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) )
8		simpr	|- ( ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) -> ( x H z ) e. I )
9	8	ralimi	|- ( A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) -> A. z e. X ( x H z ) e. I )
10	9	adantl	|- ( ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) -> A. z e. X ( x H z ) e. I )
11	10	ralimi	|- ( A. x e. I ( A. y e. I ( x G y ) e. I /\ A. z e. X ( ( z H x ) e. I /\ ( x H z ) e. I ) ) -> A. x e. I A. z e. X ( x H z ) e. I )
12	7 11	syl	|- ( ( R e. RingOps /\ I e. ( Idl ` R ) ) -> A. x e. I A. z e. X ( x H z ) e. I )
13		oveq1	|- ( x = A -> ( x H z ) = ( A H z ) )
14	13	eleq1d	|- ( x = A -> ( ( x H z ) e. I <-> ( A H z ) e. I ) )
15		oveq2	|- ( z = B -> ( A H z ) = ( A H B ) )
16	15	eleq1d	|- ( z = B -> ( ( A H z ) e. I <-> ( A H B ) e. I ) )
17	14 16	rspc2v	|- ( ( A e. I /\ B e. X ) -> ( A. x e. I A. z e. X ( x H z ) e. I -> ( A H B ) e. I ) )
18	12 17	mpan9	|- ( ( ( R e. RingOps /\ I e. ( Idl ` R ) ) /\ ( A e. I /\ B e. X ) ) -> ( A H B ) e. I )