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## Theorem intnatN

Description: If the intersection with a non-majorizing element is an atom, the intersecting element is not an atom. (Contributed by NM, 26-Jun-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses intnat.b
`|- B = ( Base ` K )`
intnat.l
`|- .<_ = ( le ` K )`
intnat.m
`|- ./\ = ( meet ` K )`
intnat.a
`|- A = ( Atoms ` K )`
Assertion intnatN
`|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. Y .<_ X /\ ( X ./\ Y ) e. A ) ) -> -. Y e. A )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 intnat.b
` |-  B = ( Base ` K )`
2 intnat.l
` |-  .<_ = ( le ` K )`
3 intnat.m
` |-  ./\ = ( meet ` K )`
4 intnat.a
` |-  A = ( Atoms ` K )`
5 hlatl
` |-  ( K e. HL -> K e. AtLat )`
` |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. AtLat )`
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> K e. AtLat )`
8 eqid
` |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )`
9 8 4 atn0
` |-  ( ( K e. AtLat /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( X ./\ Y ) =/= ( 0. ` K ) )`
10 7 9 sylancom
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( X ./\ Y ) =/= ( 0. ` K ) )`
11 10 ex
` |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) -> ( ( X ./\ Y ) e. A -> ( X ./\ Y ) =/= ( 0. ` K ) ) )`
12 simpll1
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> K e. HL )`
13 12 hllatd
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> K e. Lat )`
14 simpll2
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> X e. B )`
15 simpll3
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> Y e. B )`
16 1 3 latmcom
` |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) = ( Y ./\ X ) )`
17 13 14 15 16 syl3anc
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> ( X ./\ Y ) = ( Y ./\ X ) )`
18 simplr
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> -. Y .<_ X )`
19 12 5 syl
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> K e. AtLat )`
20 simpr
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> Y e. A )`
21 1 2 3 8 4 atnle
` |-  ( ( K e. AtLat /\ Y e. A /\ X e. B ) -> ( -. Y .<_ X <-> ( Y ./\ X ) = ( 0. ` K ) ) )`
22 19 20 14 21 syl3anc
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> ( -. Y .<_ X <-> ( Y ./\ X ) = ( 0. ` K ) ) )`
23 18 22 mpbid
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> ( Y ./\ X ) = ( 0. ` K ) )`
24 17 23 eqtrd
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> ( X ./\ Y ) = ( 0. ` K ) )`
25 24 ex
` |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) -> ( Y e. A -> ( X ./\ Y ) = ( 0. ` K ) ) )`
` |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) -> ( ( X ./\ Y ) =/= ( 0. ` K ) -> -. Y e. A ) )`
` |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) -> ( ( X ./\ Y ) e. A -> -. Y e. A ) )`
` |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. Y .<_ X /\ ( X ./\ Y ) e. A ) ) -> -. Y e. A )`