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Theorem intnatN

Description: If the intersection with a non-majorizing element is an atom, the intersecting element is not an atom. (Contributed by NM, 26-Jun-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses intnat.b 
|- B = ( Base ` K )
intnat.l 
|- .<_ = ( le ` K )
intnat.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
intnat.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion intnatN 
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. Y .<_ X /\ ( X ./\ Y ) e. A ) ) -> -. Y e. A )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 intnat.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 intnat.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 intnat.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 intnat.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 hlatl 
 |-  ( K e. HL -> K e. AtLat )
6 5 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. AtLat )
7 6 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> K e. AtLat )
8 eqid 
 |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
9 8 4 atn0 
 |-  ( ( K e. AtLat /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( X ./\ Y ) =/= ( 0. ` K ) )
10 7 9 sylancom 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( X ./\ Y ) =/= ( 0. ` K ) )
11 10 ex 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) -> ( ( X ./\ Y ) e. A -> ( X ./\ Y ) =/= ( 0. ` K ) ) )
12 simpll1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> K e. HL )
13 12 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> K e. Lat )
14 simpll2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> X e. B )
15 simpll3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> Y e. B )
16 1 3 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) = ( Y ./\ X ) )
17 13 14 15 16 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> ( X ./\ Y ) = ( Y ./\ X ) )
18 simplr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> -. Y .<_ X )
19 12 5 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> K e. AtLat )
20 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> Y e. A )
21 1 2 3 8 4 atnle 
 |-  ( ( K e. AtLat /\ Y e. A /\ X e. B ) -> ( -. Y .<_ X <-> ( Y ./\ X ) = ( 0. ` K ) ) )
22 19 20 14 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> ( -. Y .<_ X <-> ( Y ./\ X ) = ( 0. ` K ) ) )
23 18 22 mpbid 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> ( Y ./\ X ) = ( 0. ` K ) )
24 17 23 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) /\ Y e. A ) -> ( X ./\ Y ) = ( 0. ` K ) )
25 24 ex 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) -> ( Y e. A -> ( X ./\ Y ) = ( 0. ` K ) ) )
26 25 necon3ad 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) -> ( ( X ./\ Y ) =/= ( 0. ` K ) -> -. Y e. A ) )
27 11 26 syld 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ -. Y .<_ X ) -> ( ( X ./\ Y ) e. A -> -. Y e. A ) )
28 27 impr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( -. Y .<_ X /\ ( X ./\ Y ) e. A ) ) -> -. Y e. A )