Theorem iscmnd

Description: Properties that determine a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	iscmnd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
	iscmnd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
	iscmnd.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
	iscmnd.c	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
Assertion	iscmnd	|- ( ph -> G e. CMnd )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscmnd.b	|- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
2		iscmnd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` G ) )
3		iscmnd.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
4		iscmnd.c	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
5	4	3expib	|- ( ph -> ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
6	5	ralrimivv	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
7	2	oveqd	|- ( ph -> ( x .+ y ) = ( x ( +g ` G ) y ) )
8	2	oveqd	|- ( ph -> ( y .+ x ) = ( y ( +g ` G ) x ) )
9	7 8	eqeq12d	|- ( ph -> ( ( x .+ y ) = ( y .+ x ) <-> ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
10	1 9	raleqbidv	|- ( ph -> ( A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) <-> A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
11	1 10	raleqbidv	|- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) <-> A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
12	11	anbi2d	|- ( ph -> ( ( G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) ) )
13	3 6 12	mpbi2and	|- ( ph -> ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
14		eqid	|- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
15		eqid	|- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
16	14 15	iscmn	|- ( G e. CMnd <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
17	13 16	sylibr	|- ( ph -> G e. CMnd )