Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ringcl.b |
|- B = ( Base ` R ) |
2 |
|
ringcl.t |
|- .x. = ( .r ` R ) |
3 |
|
eqid |
|- ( mulGrp ` R ) = ( mulGrp ` R ) |
4 |
3
|
iscrng |
|- ( R e. CRing <-> ( R e. Ring /\ ( mulGrp ` R ) e. CMnd ) ) |
5 |
3
|
ringmgp |
|- ( R e. Ring -> ( mulGrp ` R ) e. Mnd ) |
6 |
3 1
|
mgpbas |
|- B = ( Base ` ( mulGrp ` R ) ) |
7 |
3 2
|
mgpplusg |
|- .x. = ( +g ` ( mulGrp ` R ) ) |
8 |
6 7
|
iscmn |
|- ( ( mulGrp ` R ) e. CMnd <-> ( ( mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B ( x .x. y ) = ( y .x. x ) ) ) |
9 |
8
|
baib |
|- ( ( mulGrp ` R ) e. Mnd -> ( ( mulGrp ` R ) e. CMnd <-> A. x e. B A. y e. B ( x .x. y ) = ( y .x. x ) ) ) |
10 |
5 9
|
syl |
|- ( R e. Ring -> ( ( mulGrp ` R ) e. CMnd <-> A. x e. B A. y e. B ( x .x. y ) = ( y .x. x ) ) ) |
11 |
10
|
pm5.32i |
|- ( ( R e. Ring /\ ( mulGrp ` R ) e. CMnd ) <-> ( R e. Ring /\ A. x e. B A. y e. B ( x .x. y ) = ( y .x. x ) ) ) |
12 |
4 11
|
bitri |
|- ( R e. CRing <-> ( R e. Ring /\ A. x e. B A. y e. B ( x .x. y ) = ( y .x. x ) ) ) |