Theorem isinito

Description: The predicate "is an initial object" of a category. (Contributed by AV, 3-Apr-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	isinito.b	|- B = ( Base ` C )
	isinito.h	|- H = ( Hom ` C )
	isinito.c	|- ( ph -> C e. Cat )
	isinito.i	|- ( ph -> I e. B )
Assertion	isinito	|- ( ph -> ( I e. ( InitO ` C ) <-> A. b e. B E! h h e. ( I H b ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isinito.b	|- B = ( Base ` C )
2		isinito.h	|- H = ( Hom ` C )
3		isinito.c	|- ( ph -> C e. Cat )
4		isinito.i	|- ( ph -> I e. B )
5	3 1 2	initoval	|- ( ph -> ( InitO ` C ) = { i e. B | A. b e. B E! h h e. ( i H b ) } )
6	5	eleq2d	|- ( ph -> ( I e. ( InitO ` C ) <-> I e. { i e. B | A. b e. B E! h h e. ( i H b ) } ) )
7		oveq1	|- ( i = I -> ( i H b ) = ( I H b ) )
8	7	eleq2d	|- ( i = I -> ( h e. ( i H b ) <-> h e. ( I H b ) ) )
9	8	eubidv	|- ( i = I -> ( E! h h e. ( i H b ) <-> E! h h e. ( I H b ) ) )
10	9	ralbidv	|- ( i = I -> ( A. b e. B E! h h e. ( i H b ) <-> A. b e. B E! h h e. ( I H b ) ) )
11	10	elrab3	|- ( I e. B -> ( I e. { i e. B | A. b e. B E! h h e. ( i H b ) } <-> A. b e. B E! h h e. ( I H b ) ) )
12	4 11	syl	|- ( ph -> ( I e. { i e. B | A. b e. B E! h h e. ( i H b ) } <-> A. b e. B E! h h e. ( I H b ) ) )
13	6 12	bitrd	|- ( ph -> ( I e. ( InitO ` C ) <-> A. b e. B E! h h e. ( I H b ) ) )