Theorem isorcl2

Description: Reverse closure for isomorphism relations. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	isorcl.i	|- I = ( Iso ` C )
	isorcl.f	|- ( ph -> F e. ( X I Y ) )
	isorcl2.b	|- B = ( Base ` C )
Assertion	isorcl2	|- ( ph -> ( X e. B /\ Y e. B ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isorcl.i	|- I = ( Iso ` C )
2		isorcl.f	|- ( ph -> F e. ( X I Y ) )
3		isorcl2.b	|- B = ( Base ` C )
4		eqid	|- ( Inv ` C ) = ( Inv ` C )
5	1 2	isorcl	|- ( ph -> C e. Cat )
6	3 4 5 1	isofval2	|- ( ph -> I = ( x e. B , y e. B |-> dom ( x ( Inv ` C ) y ) ) )
7	6	oveqd	|- ( ph -> ( X I Y ) = ( X ( x e. B , y e. B |-> dom ( x ( Inv ` C ) y ) ) Y ) )
8	2 7	eleqtrd	|- ( ph -> F e. ( X ( x e. B , y e. B |-> dom ( x ( Inv ` C ) y ) ) Y ) )
9		eqid	|- ( x e. B , y e. B |-> dom ( x ( Inv ` C ) y ) ) = ( x e. B , y e. B |-> dom ( x ( Inv ` C ) y ) )
10	9	elmpocl	|- ( F e. ( X ( x e. B , y e. B |-> dom ( x ( Inv ` C ) y ) ) Y ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
11	8 10	syl	|- ( ph -> ( X e. B /\ Y e. B ) )