Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isringrng.b |
|- B = ( Base ` R ) |
2 |
|
isringrng.t |
|- .x. = ( .r ` R ) |
3 |
|
ringrng |
|- ( R e. Ring -> R e. Rng ) |
4 |
1 2
|
ringideu |
|- ( R e. Ring -> E! x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) |
5 |
|
reurex |
|- ( E! x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) -> E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) |
6 |
4 5
|
syl |
|- ( R e. Ring -> E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) |
7 |
3 6
|
jca |
|- ( R e. Ring -> ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) ) |
8 |
|
rngabl |
|- ( R e. Rng -> R e. Abel ) |
9 |
|
ablgrp |
|- ( R e. Abel -> R e. Grp ) |
10 |
8 9
|
syl |
|- ( R e. Rng -> R e. Grp ) |
11 |
10
|
adantr |
|- ( ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) -> R e. Grp ) |
12 |
|
eqid |
|- ( mulGrp ` R ) = ( mulGrp ` R ) |
13 |
12
|
rngmgp |
|- ( R e. Rng -> ( mulGrp ` R ) e. Smgrp ) |
14 |
13
|
anim1i |
|- ( ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) -> ( ( mulGrp ` R ) e. Smgrp /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) ) |
15 |
12 1
|
mgpbas |
|- B = ( Base ` ( mulGrp ` R ) ) |
16 |
12 2
|
mgpplusg |
|- .x. = ( +g ` ( mulGrp ` R ) ) |
17 |
15 16
|
ismnddef |
|- ( ( mulGrp ` R ) e. Mnd <-> ( ( mulGrp ` R ) e. Smgrp /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) ) |
18 |
14 17
|
sylibr |
|- ( ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) -> ( mulGrp ` R ) e. Mnd ) |
19 |
|
eqid |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` R ) |
20 |
1 12 19 2
|
isrng |
|- ( R e. Rng <-> ( R e. Abel /\ ( mulGrp ` R ) e. Smgrp /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) ( x .x. z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) ( +g ` R ) ( y .x. z ) ) ) ) ) |
21 |
20
|
simp3bi |
|- ( R e. Rng -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) ( x .x. z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) ( +g ` R ) ( y .x. z ) ) ) ) |
22 |
21
|
adantr |
|- ( ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) ( x .x. z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) ( +g ` R ) ( y .x. z ) ) ) ) |
23 |
1 12 19 2
|
isring |
|- ( R e. Ring <-> ( R e. Grp /\ ( mulGrp ` R ) e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x .x. y ) ( +g ` R ) ( x .x. z ) ) /\ ( ( x ( +g ` R ) y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) ( +g ` R ) ( y .x. z ) ) ) ) ) |
24 |
11 18 22 23
|
syl3anbrc |
|- ( ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) -> R e. Ring ) |
25 |
7 24
|
impbii |
|- ( R e. Ring <-> ( R e. Rng /\ E. x e. B A. y e. B ( ( x .x. y ) = y /\ ( y .x. x ) = y ) ) ) |