Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
rnghomval.1 |
|- G = ( 1st ` R ) |
2 |
|
rnghomval.2 |
|- H = ( 2nd ` R ) |
3 |
|
rnghomval.3 |
|- X = ran G |
4 |
|
rnghomval.4 |
|- U = ( GId ` H ) |
5 |
|
rnghomval.5 |
|- J = ( 1st ` S ) |
6 |
|
rnghomval.6 |
|- K = ( 2nd ` S ) |
7 |
|
rnghomval.7 |
|- Y = ran J |
8 |
|
rnghomval.8 |
|- V = ( GId ` K ) |
9 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
rngohomval |
|- ( ( R e. RingOps /\ S e. RingOps ) -> ( R RngHom S ) = { f e. ( Y ^m X ) | ( ( f ` U ) = V /\ A. x e. X A. y e. X ( ( f ` ( x G y ) ) = ( ( f ` x ) J ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x H y ) ) = ( ( f ` x ) K ( f ` y ) ) ) ) } ) |
10 |
9
|
eleq2d |
|- ( ( R e. RingOps /\ S e. RingOps ) -> ( F e. ( R RngHom S ) <-> F e. { f e. ( Y ^m X ) | ( ( f ` U ) = V /\ A. x e. X A. y e. X ( ( f ` ( x G y ) ) = ( ( f ` x ) J ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x H y ) ) = ( ( f ` x ) K ( f ` y ) ) ) ) } ) ) |
11 |
5
|
fvexi |
|- J e. _V |
12 |
11
|
rnex |
|- ran J e. _V |
13 |
7 12
|
eqeltri |
|- Y e. _V |
14 |
1
|
fvexi |
|- G e. _V |
15 |
14
|
rnex |
|- ran G e. _V |
16 |
3 15
|
eqeltri |
|- X e. _V |
17 |
13 16
|
elmap |
|- ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) |
18 |
17
|
anbi1i |
|- ( ( F e. ( Y ^m X ) /\ ( ( F ` U ) = V /\ A. x e. X A. y e. X ( ( F ` ( x G y ) ) = ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x H y ) ) = ( ( F ` x ) K ( F ` y ) ) ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ ( ( F ` U ) = V /\ A. x e. X A. y e. X ( ( F ` ( x G y ) ) = ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x H y ) ) = ( ( F ` x ) K ( F ` y ) ) ) ) ) ) |
19 |
|
fveq1 |
|- ( f = F -> ( f ` U ) = ( F ` U ) ) |
20 |
19
|
eqeq1d |
|- ( f = F -> ( ( f ` U ) = V <-> ( F ` U ) = V ) ) |
21 |
|
fveq1 |
|- ( f = F -> ( f ` ( x G y ) ) = ( F ` ( x G y ) ) ) |
22 |
|
fveq1 |
|- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) ) |
23 |
|
fveq1 |
|- ( f = F -> ( f ` y ) = ( F ` y ) ) |
24 |
22 23
|
oveq12d |
|- ( f = F -> ( ( f ` x ) J ( f ` y ) ) = ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) |
25 |
21 24
|
eqeq12d |
|- ( f = F -> ( ( f ` ( x G y ) ) = ( ( f ` x ) J ( f ` y ) ) <-> ( F ` ( x G y ) ) = ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ) ) |
26 |
|
fveq1 |
|- ( f = F -> ( f ` ( x H y ) ) = ( F ` ( x H y ) ) ) |
27 |
22 23
|
oveq12d |
|- ( f = F -> ( ( f ` x ) K ( f ` y ) ) = ( ( F ` x ) K ( F ` y ) ) ) |
28 |
26 27
|
eqeq12d |
|- ( f = F -> ( ( f ` ( x H y ) ) = ( ( f ` x ) K ( f ` y ) ) <-> ( F ` ( x H y ) ) = ( ( F ` x ) K ( F ` y ) ) ) ) |
29 |
25 28
|
anbi12d |
|- ( f = F -> ( ( ( f ` ( x G y ) ) = ( ( f ` x ) J ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x H y ) ) = ( ( f ` x ) K ( f ` y ) ) ) <-> ( ( F ` ( x G y ) ) = ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x H y ) ) = ( ( F ` x ) K ( F ` y ) ) ) ) ) |
30 |
29
|
2ralbidv |
|- ( f = F -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( f ` ( x G y ) ) = ( ( f ` x ) J ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x H y ) ) = ( ( f ` x ) K ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( F ` ( x G y ) ) = ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x H y ) ) = ( ( F ` x ) K ( F ` y ) ) ) ) ) |
31 |
20 30
|
anbi12d |
|- ( f = F -> ( ( ( f ` U ) = V /\ A. x e. X A. y e. X ( ( f ` ( x G y ) ) = ( ( f ` x ) J ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x H y ) ) = ( ( f ` x ) K ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( F ` U ) = V /\ A. x e. X A. y e. X ( ( F ` ( x G y ) ) = ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x H y ) ) = ( ( F ` x ) K ( F ` y ) ) ) ) ) ) |
32 |
31
|
elrab |
|- ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | ( ( f ` U ) = V /\ A. x e. X A. y e. X ( ( f ` ( x G y ) ) = ( ( f ` x ) J ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x H y ) ) = ( ( f ` x ) K ( f ` y ) ) ) ) } <-> ( F e. ( Y ^m X ) /\ ( ( F ` U ) = V /\ A. x e. X A. y e. X ( ( F ` ( x G y ) ) = ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x H y ) ) = ( ( F ` x ) K ( F ` y ) ) ) ) ) ) |
33 |
|
3anass |
|- ( ( F : X --> Y /\ ( F ` U ) = V /\ A. x e. X A. y e. X ( ( F ` ( x G y ) ) = ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x H y ) ) = ( ( F ` x ) K ( F ` y ) ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ ( ( F ` U ) = V /\ A. x e. X A. y e. X ( ( F ` ( x G y ) ) = ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x H y ) ) = ( ( F ` x ) K ( F ` y ) ) ) ) ) ) |
34 |
18 32 33
|
3bitr4i |
|- ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | ( ( f ` U ) = V /\ A. x e. X A. y e. X ( ( f ` ( x G y ) ) = ( ( f ` x ) J ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x H y ) ) = ( ( f ` x ) K ( f ` y ) ) ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ ( F ` U ) = V /\ A. x e. X A. y e. X ( ( F ` ( x G y ) ) = ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x H y ) ) = ( ( F ` x ) K ( F ` y ) ) ) ) ) |
35 |
10 34
|
bitrdi |
|- ( ( R e. RingOps /\ S e. RingOps ) -> ( F e. ( R RngHom S ) <-> ( F : X --> Y /\ ( F ` U ) = V /\ A. x e. X A. y e. X ( ( F ` ( x G y ) ) = ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( x H y ) ) = ( ( F ` x ) K ( F ` y ) ) ) ) ) ) |