Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tendoset.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
tendoset.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
3 |
|
tendoset.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
4 |
|
tendoset.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
5 |
|
tendoset.e |
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W ) |
6 |
|
istendod.1 |
|- ( ph -> ( K e. V /\ W e. H ) ) |
7 |
|
istendod.2 |
|- ( ph -> S : T --> T ) |
8 |
|
istendod.3 |
|- ( ( ph /\ f e. T /\ g e. T ) -> ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) ) |
9 |
|
istendod.4 |
|- ( ( ph /\ f e. T ) -> ( R ` ( S ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) |
10 |
8
|
3expb |
|- ( ( ph /\ ( f e. T /\ g e. T ) ) -> ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) ) |
11 |
10
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) ) |
12 |
9
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. f e. T ( R ` ( S ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) |
13 |
1 2 3 4 5
|
istendo |
|- ( ( K e. V /\ W e. H ) -> ( S e. E <-> ( S : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) /\ A. f e. T ( R ` ( S ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) ) ) |
14 |
6 13
|
syl |
|- ( ph -> ( S e. E <-> ( S : T --> T /\ A. f e. T A. g e. T ( S ` ( f o. g ) ) = ( ( S ` f ) o. ( S ` g ) ) /\ A. f e. T ( R ` ( S ` f ) ) .<_ ( R ` f ) ) ) ) |
15 |
7 11 12 14
|
mpbir3and |
|- ( ph -> S e. E ) |