Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
itgcnval.1 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V ) |
2 |
|
itgcnval.2 |
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 ) |
3 |
|
iblmbf |
|- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) |
4 |
2 3
|
syl |
|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn ) |
5 |
4 1
|
mbfmptcl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC ) |
6 |
5
|
recld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. RR ) |
7 |
5
|
iblcn |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) ) ) |
8 |
2 7
|
mpbid |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) ) |
9 |
8
|
simpld |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 ) |
10 |
6 9
|
itgcl |
|- ( ph -> S. A ( Re ` B ) _d x e. CC ) |
11 |
|
ax-icn |
|- _i e. CC |
12 |
5
|
imcld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. RR ) |
13 |
8
|
simprd |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) |
14 |
12 13
|
itgcl |
|- ( ph -> S. A ( Im ` B ) _d x e. CC ) |
15 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ S. A ( Im ` B ) _d x e. CC ) -> ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) e. CC ) |
16 |
11 14 15
|
sylancr |
|- ( ph -> ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) e. CC ) |
17 |
10 16
|
negdid |
|- ( ph -> -u ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( -u S. A ( Re ` B ) _d x + -u ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) |
18 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
19 |
|
ifcl |
|- ( ( ( Re ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ ( Re ` B ) , ( Re ` B ) , 0 ) e. RR ) |
20 |
6 18 19
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( Re ` B ) , ( Re ` B ) , 0 ) e. RR ) |
21 |
6
|
iblre |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( Re ` B ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u ( Re ` B ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) e. L^1 ) ) ) |
22 |
9 21
|
mpbid |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( Re ` B ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u ( Re ` B ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) e. L^1 ) ) |
23 |
22
|
simpld |
|- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( Re ` B ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) e. L^1 ) |
24 |
20 23
|
itgcl |
|- ( ph -> S. A if ( 0 <_ ( Re ` B ) , ( Re ` B ) , 0 ) _d x e. CC ) |
25 |
6
|
renegcld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Re ` B ) e. RR ) |
26 |
|
ifcl |
|- ( ( -u ( Re ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( Re ` B ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) e. RR ) |
27 |
25 18 26
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( Re ` B ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) e. RR ) |
28 |
22
|
simprd |
|- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u ( Re ` B ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) e. L^1 ) |
29 |
27 28
|
itgcl |
|- ( ph -> S. A if ( 0 <_ -u ( Re ` B ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) _d x e. CC ) |
30 |
24 29
|
negsubdi2d |
|- ( ph -> -u ( S. A if ( 0 <_ ( Re ` B ) , ( Re ` B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u ( Re ` B ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) _d x ) = ( S. A if ( 0 <_ -u ( Re ` B ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ ( Re ` B ) , ( Re ` B ) , 0 ) _d x ) ) |
31 |
6 9
|
itgreval |
|- ( ph -> S. A ( Re ` B ) _d x = ( S. A if ( 0 <_ ( Re ` B ) , ( Re ` B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u ( Re ` B ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) _d x ) ) |
32 |
31
|
negeqd |
|- ( ph -> -u S. A ( Re ` B ) _d x = -u ( S. A if ( 0 <_ ( Re ` B ) , ( Re ` B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u ( Re ` B ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) _d x ) ) |
33 |
5
|
negcld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B e. CC ) |
34 |
33
|
recld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` -u B ) e. RR ) |
35 |
1 2
|
iblneg |
|- ( ph -> ( x e. A |-> -u B ) e. L^1 ) |
36 |
33
|
iblcn |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> -u B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` -u B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` -u B ) ) e. L^1 ) ) ) |
37 |
35 36
|
mpbid |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` -u B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` -u B ) ) e. L^1 ) ) |
38 |
37
|
simpld |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` -u B ) ) e. L^1 ) |
39 |
34 38
|
itgreval |
|- ( ph -> S. A ( Re ` -u B ) _d x = ( S. A if ( 0 <_ ( Re ` -u B ) , ( Re ` -u B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u ( Re ` -u B ) , -u ( Re ` -u B ) , 0 ) _d x ) ) |
40 |
5
|
renegd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` -u B ) = -u ( Re ` B ) ) |
41 |
40
|
breq2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 0 <_ ( Re ` -u B ) <-> 0 <_ -u ( Re ` B ) ) ) |
42 |
41 40
|
ifbieq1d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( Re ` -u B ) , ( Re ` -u B ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( Re ` B ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) ) |
43 |
42
|
itgeq2dv |
|- ( ph -> S. A if ( 0 <_ ( Re ` -u B ) , ( Re ` -u B ) , 0 ) _d x = S. A if ( 0 <_ -u ( Re ` B ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) _d x ) |
44 |
40
|
negeqd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Re ` -u B ) = -u -u ( Re ` B ) ) |
45 |
6
|
recnd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. CC ) |
46 |
45
|
negnegd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u -u ( Re ` B ) = ( Re ` B ) ) |
47 |
44 46
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Re ` -u B ) = ( Re ` B ) ) |
48 |
47
|
breq2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 0 <_ -u ( Re ` -u B ) <-> 0 <_ ( Re ` B ) ) ) |
49 |
48 47
|
ifbieq1d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( Re ` -u B ) , -u ( Re ` -u B ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Re ` B ) , ( Re ` B ) , 0 ) ) |
50 |
49
|
itgeq2dv |
|- ( ph -> S. A if ( 0 <_ -u ( Re ` -u B ) , -u ( Re ` -u B ) , 0 ) _d x = S. A if ( 0 <_ ( Re ` B ) , ( Re ` B ) , 0 ) _d x ) |
51 |
43 50
|
oveq12d |
|- ( ph -> ( S. A if ( 0 <_ ( Re ` -u B ) , ( Re ` -u B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u ( Re ` -u B ) , -u ( Re ` -u B ) , 0 ) _d x ) = ( S. A if ( 0 <_ -u ( Re ` B ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ ( Re ` B ) , ( Re ` B ) , 0 ) _d x ) ) |
52 |
39 51
|
eqtrd |
|- ( ph -> S. A ( Re ` -u B ) _d x = ( S. A if ( 0 <_ -u ( Re ` B ) , -u ( Re ` B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ ( Re ` B ) , ( Re ` B ) , 0 ) _d x ) ) |
53 |
30 32 52
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> -u S. A ( Re ` B ) _d x = S. A ( Re ` -u B ) _d x ) |
54 |
|
mulneg2 |
|- ( ( _i e. CC /\ S. A ( Im ` B ) _d x e. CC ) -> ( _i x. -u S. A ( Im ` B ) _d x ) = -u ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) |
55 |
11 14 54
|
sylancr |
|- ( ph -> ( _i x. -u S. A ( Im ` B ) _d x ) = -u ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) |
56 |
|
ifcl |
|- ( ( ( Im ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ ( Im ` B ) , ( Im ` B ) , 0 ) e. RR ) |
57 |
12 18 56
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( Im ` B ) , ( Im ` B ) , 0 ) e. RR ) |
58 |
12
|
iblre |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( Im ` B ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u ( Im ` B ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) e. L^1 ) ) ) |
59 |
13 58
|
mpbid |
|- ( ph -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( Im ` B ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u ( Im ` B ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) e. L^1 ) ) |
60 |
59
|
simpld |
|- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ ( Im ` B ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) e. L^1 ) |
61 |
57 60
|
itgcl |
|- ( ph -> S. A if ( 0 <_ ( Im ` B ) , ( Im ` B ) , 0 ) _d x e. CC ) |
62 |
12
|
renegcld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Im ` B ) e. RR ) |
63 |
|
ifcl |
|- ( ( -u ( Im ` B ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( Im ` B ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) e. RR ) |
64 |
62 18 63
|
sylancl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( Im ` B ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) e. RR ) |
65 |
59
|
simprd |
|- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u ( Im ` B ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) e. L^1 ) |
66 |
64 65
|
itgcl |
|- ( ph -> S. A if ( 0 <_ -u ( Im ` B ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) _d x e. CC ) |
67 |
61 66
|
negsubdi2d |
|- ( ph -> -u ( S. A if ( 0 <_ ( Im ` B ) , ( Im ` B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u ( Im ` B ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) _d x ) = ( S. A if ( 0 <_ -u ( Im ` B ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ ( Im ` B ) , ( Im ` B ) , 0 ) _d x ) ) |
68 |
5
|
imnegd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` -u B ) = -u ( Im ` B ) ) |
69 |
68
|
breq2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 0 <_ ( Im ` -u B ) <-> 0 <_ -u ( Im ` B ) ) ) |
70 |
69 68
|
ifbieq1d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ ( Im ` -u B ) , ( Im ` -u B ) , 0 ) = if ( 0 <_ -u ( Im ` B ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) ) |
71 |
70
|
itgeq2dv |
|- ( ph -> S. A if ( 0 <_ ( Im ` -u B ) , ( Im ` -u B ) , 0 ) _d x = S. A if ( 0 <_ -u ( Im ` B ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) _d x ) |
72 |
68
|
negeqd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Im ` -u B ) = -u -u ( Im ` B ) ) |
73 |
12
|
recnd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. CC ) |
74 |
73
|
negnegd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u -u ( Im ` B ) = ( Im ` B ) ) |
75 |
72 74
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u ( Im ` -u B ) = ( Im ` B ) ) |
76 |
75
|
breq2d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( 0 <_ -u ( Im ` -u B ) <-> 0 <_ ( Im ` B ) ) ) |
77 |
76 75
|
ifbieq1d |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u ( Im ` -u B ) , -u ( Im ` -u B ) , 0 ) = if ( 0 <_ ( Im ` B ) , ( Im ` B ) , 0 ) ) |
78 |
77
|
itgeq2dv |
|- ( ph -> S. A if ( 0 <_ -u ( Im ` -u B ) , -u ( Im ` -u B ) , 0 ) _d x = S. A if ( 0 <_ ( Im ` B ) , ( Im ` B ) , 0 ) _d x ) |
79 |
71 78
|
oveq12d |
|- ( ph -> ( S. A if ( 0 <_ ( Im ` -u B ) , ( Im ` -u B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u ( Im ` -u B ) , -u ( Im ` -u B ) , 0 ) _d x ) = ( S. A if ( 0 <_ -u ( Im ` B ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ ( Im ` B ) , ( Im ` B ) , 0 ) _d x ) ) |
80 |
67 79
|
eqtr4d |
|- ( ph -> -u ( S. A if ( 0 <_ ( Im ` B ) , ( Im ` B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u ( Im ` B ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) _d x ) = ( S. A if ( 0 <_ ( Im ` -u B ) , ( Im ` -u B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u ( Im ` -u B ) , -u ( Im ` -u B ) , 0 ) _d x ) ) |
81 |
12 13
|
itgreval |
|- ( ph -> S. A ( Im ` B ) _d x = ( S. A if ( 0 <_ ( Im ` B ) , ( Im ` B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u ( Im ` B ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) _d x ) ) |
82 |
81
|
negeqd |
|- ( ph -> -u S. A ( Im ` B ) _d x = -u ( S. A if ( 0 <_ ( Im ` B ) , ( Im ` B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u ( Im ` B ) , -u ( Im ` B ) , 0 ) _d x ) ) |
83 |
33
|
imcld |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` -u B ) e. RR ) |
84 |
37
|
simprd |
|- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` -u B ) ) e. L^1 ) |
85 |
83 84
|
itgreval |
|- ( ph -> S. A ( Im ` -u B ) _d x = ( S. A if ( 0 <_ ( Im ` -u B ) , ( Im ` -u B ) , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u ( Im ` -u B ) , -u ( Im ` -u B ) , 0 ) _d x ) ) |
86 |
80 82 85
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> -u S. A ( Im ` B ) _d x = S. A ( Im ` -u B ) _d x ) |
87 |
86
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( _i x. -u S. A ( Im ` B ) _d x ) = ( _i x. S. A ( Im ` -u B ) _d x ) ) |
88 |
55 87
|
eqtr3d |
|- ( ph -> -u ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) = ( _i x. S. A ( Im ` -u B ) _d x ) ) |
89 |
53 88
|
oveq12d |
|- ( ph -> ( -u S. A ( Re ` B ) _d x + -u ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( S. A ( Re ` -u B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` -u B ) _d x ) ) ) |
90 |
17 89
|
eqtrd |
|- ( ph -> -u ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( S. A ( Re ` -u B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` -u B ) _d x ) ) ) |
91 |
1 2
|
itgcnval |
|- ( ph -> S. A B _d x = ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) |
92 |
91
|
negeqd |
|- ( ph -> -u S. A B _d x = -u ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) ) |
93 |
33 35
|
itgcnval |
|- ( ph -> S. A -u B _d x = ( S. A ( Re ` -u B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` -u B ) _d x ) ) ) |
94 |
90 92 93
|
3eqtr4d |
|- ( ph -> -u S. A B _d x = S. A -u B _d x ) |