Theorem iunin2

Description: Indexed union of intersection. Generalization of half of theorem "Distributive laws" in Enderton p. 30. Use uniiun to recover Enderton's theorem. (Contributed by NM, 26-Mar-2004)

	Ref	Expression
Assertion	iunin2	|- U_ x e. A ( B i^i C ) = ( B i^i U_ x e. A C )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.42v	|- ( E. x e. A ( y e. B /\ y e. C ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A y e. C ) )
2		elin	|- ( y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. C ) )
3	2	rexbii	|- ( E. x e. A y e. ( B i^i C ) <-> E. x e. A ( y e. B /\ y e. C ) )
4		eliun	|- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
5	4	anbi2i	|- ( ( y e. B /\ y e. U_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A y e. C ) )
6	1 3 5	3bitr4i	|- ( E. x e. A y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. U_ x e. A C ) )
7		eliun	|- ( y e. U_ x e. A ( B i^i C ) <-> E. x e. A y e. ( B i^i C ) )
8		elin	|- ( y e. ( B i^i U_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ y e. U_ x e. A C ) )
9	6 7 8	3bitr4i	|- ( y e. U_ x e. A ( B i^i C ) <-> y e. ( B i^i U_ x e. A C ) )
10	9	eqriv	|- U_ x e. A ( B i^i C ) = ( B i^i U_ x e. A C )