Theorem iunn0

Description: There is a nonempty class in an indexed collection B ( x ) iff the indexed union of them is nonempty. (Contributed by NM, 15-Oct-2003) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011)

	Ref	Expression
Assertion	iunn0	|- ( E. x e. A B =/= (/) <-> U_ x e. A B =/= (/) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom4	|- ( E. x e. A E. y y e. B <-> E. y E. x e. A y e. B )
2		eliun	|- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
3	2	exbii	|- ( E. y y e. U_ x e. A B <-> E. y E. x e. A y e. B )
4	1 3	bitr4i	|- ( E. x e. A E. y y e. B <-> E. y y e. U_ x e. A B )
5		n0	|- ( B =/= (/) <-> E. y y e. B )
6	5	rexbii	|- ( E. x e. A B =/= (/) <-> E. x e. A E. y y e. B )
7		n0	|- ( U_ x e. A B =/= (/) <-> E. y y e. U_ x e. A B )
8	4 6 7	3bitr4i	|- ( E. x e. A B =/= (/) <-> U_ x e. A B =/= (/) )