Theorem iunss

Description: Subset theorem for an indexed union. (Contributed by NM, 13-Sep-2003) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011)

	Ref	Expression
Assertion	iunss	|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun	|- U_ x e. A B = { y | E. x e. A y e. B }
2	1	sseq1i	|- ( U_ x e. A B C_ C <-> { y | E. x e. A y e. B } C_ C )
3		abss	|- ( { y | E. x e. A y e. B } C_ C <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
4		df-ss	|- ( B C_ C <-> A. y ( y e. B -> y e. C ) )
5	4	ralbii	|- ( A. x e. A B C_ C <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) )
6		ralcom4	|- ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) )
7		r19.23v	|- ( A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
8	7	albii	|- ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
9	5 6 8	3bitrri	|- ( A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) <-> A. x e. A B C_ C )
10	2 3 9	3bitri	|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )