Theorem iunssf

Description: Subset theorem for an indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021) Avoid ax-10 . (Revised by SN, 2-Feb-2026)

	Ref	Expression
Hypothesis	iunssf.1	|- F/_ x C
Assertion	iunssf	|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunssf.1	|- F/_ x C
2		df-ss	|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. y ( y e. U_ x e. A B -> y e. C ) )
3		eliun	|- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
4	3	imbi1i	|- ( ( y e. U_ x e. A B -> y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
5	4	albii	|- ( A. y ( y e. U_ x e. A B -> y e. C ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
6		df-ss	|- ( B C_ C <-> A. y ( y e. B -> y e. C ) )
7	6	ralbii	|- ( A. x e. A B C_ C <-> A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) )
8		ralcom4	|- ( A. x e. A A. y ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) )
9	1	nfcri	|- F/ x y e. C
10	9	r19.23	|- ( A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
11	10	albii	|- ( A. y A. x e. A ( y e. B -> y e. C ) <-> A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) )
12	7 8 11	3bitrri	|- ( A. y ( E. x e. A y e. B -> y e. C ) <-> A. x e. A B C_ C )
13	2 5 12	3bitri	|- ( U_ x e. A B C_ C <-> A. x e. A B C_ C )