Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
olmass.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
olmass.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
3 |
|
ollat |
|- ( K e. OL -> K e. Lat ) |
4 |
3
|
adantr |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. Lat ) |
5 |
|
simpr1 |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B ) |
6 |
|
simpr2 |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B ) |
7 |
1 2
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B ) |
8 |
4 5 6 7
|
syl3anc |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X ./\ Y ) e. B ) |
9 |
|
simpr3 |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B ) |
10 |
1 2
|
latmcom |
|- ( ( K e. Lat /\ ( X ./\ Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X ./\ Y ) ./\ Z ) = ( Z ./\ ( X ./\ Y ) ) ) |
11 |
4 8 9 10
|
syl3anc |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ./\ Z ) = ( Z ./\ ( X ./\ Y ) ) ) |
12 |
|
simpl |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> K e. OL ) |
13 |
1 2
|
latmassOLD |
|- ( ( K e. OL /\ ( Z e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( Z ./\ X ) ./\ Y ) = ( Z ./\ ( X ./\ Y ) ) ) |
14 |
12 9 5 6 13
|
syl13anc |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z ./\ X ) ./\ Y ) = ( Z ./\ ( X ./\ Y ) ) ) |
15 |
11 14
|
eqtr4d |
|- ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ./\ Z ) = ( ( Z ./\ X ) ./\ Y ) ) |