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Theorem lcfls1lem

Description: Property of a functional with a closed kernel. (Contributed by NM, 27-Jan-2015)

Ref Expression
Hypothesis lcfls1.c 
|- C = { f e. F | ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) /\ ( ._|_ ` ( L ` f ) ) C_ Q ) }
Assertion lcfls1lem 
|- ( G e. C <-> ( G e. F /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( ._|_ ` ( L ` G ) ) C_ Q ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lcfls1.c 
 |-  C = { f e. F | ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) /\ ( ._|_ ` ( L ` f ) ) C_ Q ) }
2 fveq2 
 |-  ( f = G -> ( L ` f ) = ( L ` G ) )
3 2 fveq2d 
 |-  ( f = G -> ( ._|_ ` ( L ` f ) ) = ( ._|_ ` ( L ` G ) ) )
4 3 fveq2d 
 |-  ( f = G -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) )
5 4 2 eqeq12d 
 |-  ( f = G -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) ) )
6 3 sseq1d 
 |-  ( f = G -> ( ( ._|_ ` ( L ` f ) ) C_ Q <-> ( ._|_ ` ( L ` G ) ) C_ Q ) )
7 5 6 anbi12d 
 |-  ( f = G -> ( ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` f ) ) ) = ( L ` f ) /\ ( ._|_ ` ( L ` f ) ) C_ Q ) <-> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( ._|_ ` ( L ` G ) ) C_ Q ) ) )
8 7 1 elrab2 
 |-  ( G e. C <-> ( G e. F /\ ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( ._|_ ` ( L ` G ) ) C_ Q ) ) )
9 3anass 
 |-  ( ( G e. F /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( ._|_ ` ( L ` G ) ) C_ Q ) <-> ( G e. F /\ ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( ._|_ ` ( L ` G ) ) C_ Q ) ) )
10 8 9 bitr4i 
 |-  ( G e. C <-> ( G e. F /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( L ` G ) ) ) = ( L ` G ) /\ ( ._|_ ` ( L ` G ) ) C_ Q ) )