Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lhp2atnle.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
lhp2atnle.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
lhp2atnle.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
4 |
|
lhp2atnle.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
5 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
6 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
7 |
|
simp3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) -> U =/= V ) |
8 |
|
simp2l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) -> ( U e. A /\ U .<_ W ) ) |
9 |
|
simp2r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) -> ( V e. A /\ V .<_ W ) ) |
10 |
1 2 3 4
|
lhp2atnle |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ U =/= V ) /\ ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) -> -. V .<_ ( P .\/ U ) ) |
11 |
5 6 7 8 9 10
|
syl311anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) -> -. V .<_ ( P .\/ U ) ) |
12 |
|
simp11l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) -> K e. HL ) |
13 |
|
simp13 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) -> Q e. A ) |
14 |
|
simp2rl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) -> V e. A ) |
15 |
1 2 3
|
hlatlej2 |
|- ( ( K e. HL /\ Q e. A /\ V e. A ) -> V .<_ ( Q .\/ V ) ) |
16 |
12 13 14 15
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) -> V .<_ ( Q .\/ V ) ) |
17 |
16
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) /\ ( P .\/ U ) = ( Q .\/ V ) ) -> V .<_ ( Q .\/ V ) ) |
18 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) /\ ( P .\/ U ) = ( Q .\/ V ) ) -> ( P .\/ U ) = ( Q .\/ V ) ) |
19 |
17 18
|
breqtrrd |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) /\ ( P .\/ U ) = ( Q .\/ V ) ) -> V .<_ ( P .\/ U ) ) |
20 |
19
|
ex |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) -> ( ( P .\/ U ) = ( Q .\/ V ) -> V .<_ ( P .\/ U ) ) ) |
21 |
20
|
necon3bd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) -> ( -. V .<_ ( P .\/ U ) -> ( P .\/ U ) =/= ( Q .\/ V ) ) ) |
22 |
11 21
|
mpd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( ( U e. A /\ U .<_ W ) /\ ( V e. A /\ V .<_ W ) ) /\ U =/= V ) -> ( P .\/ U ) =/= ( Q .\/ V ) ) |