Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ltrne.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
ltrne.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
3 |
|
ltrne.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
ltrne.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
5 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ p e. A /\ p .<_ W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
6 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ p e. A /\ p .<_ W ) -> F e. T ) |
7 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
8 |
7 2
|
atbase |
|- ( p e. A -> p e. ( Base ` K ) ) |
9 |
8
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ p e. A /\ p .<_ W ) -> p e. ( Base ` K ) ) |
10 |
|
simp3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ p e. A /\ p .<_ W ) -> p .<_ W ) |
11 |
7 1 3 4
|
ltrnval1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( p e. ( Base ` K ) /\ p .<_ W ) ) -> ( F ` p ) = p ) |
12 |
5 6 9 10 11
|
syl112anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ p e. A /\ p .<_ W ) -> ( F ` p ) = p ) |
13 |
|
simp13 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ p e. A /\ p .<_ W ) -> G e. T ) |
14 |
7 1 3 4
|
ltrnval1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( p e. ( Base ` K ) /\ p .<_ W ) ) -> ( G ` p ) = p ) |
15 |
5 13 9 10 14
|
syl112anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ p e. A /\ p .<_ W ) -> ( G ` p ) = p ) |
16 |
12 15
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ p e. A /\ p .<_ W ) -> ( F ` p ) = ( G ` p ) ) |
17 |
16
|
3expia |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ p e. A ) -> ( p .<_ W -> ( F ` p ) = ( G ` p ) ) ) |
18 |
|
pm2.61 |
|- ( ( p .<_ W -> ( F ` p ) = ( G ` p ) ) -> ( ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = ( G ` p ) ) -> ( F ` p ) = ( G ` p ) ) ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = ( G ` p ) ) -> ( F ` p ) = ( G ` p ) ) ) |
20 |
|
re1tbw2 |
|- ( ( F ` p ) = ( G ` p ) -> ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = ( G ` p ) ) ) |
21 |
19 20
|
impbid1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = ( G ` p ) ) <-> ( F ` p ) = ( G ` p ) ) ) |
22 |
21
|
ralbidva |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = ( G ` p ) ) <-> A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) ) ) |
23 |
2 3 4
|
ltrneq2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( A. p e. A ( F ` p ) = ( G ` p ) <-> F = G ) ) |
24 |
22 23
|
bitrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = ( G ` p ) ) <-> F = G ) ) |