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Theorem matmulcell

Description: Multiplication in the matrix ring for a single cell of a matrix. (Contributed by AV, 17-Nov-2019) (Revised by AV, 3-Jul-2022)

Ref Expression
Hypotheses matmulcell.a 
|- A = ( N Mat R )
matmulcell.b 
|- B = ( Base ` A )
matmulcell.m 
|- .X. = ( .r ` A )
Assertion matmulcell 
|- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .X. Y ) J ) = ( R gsum ( j e. N |-> ( ( I X j ) ( .r ` R ) ( j Y J ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 matmulcell.a 
 |-  A = ( N Mat R )
2 matmulcell.b 
 |-  B = ( Base ` A )
3 matmulcell.m 
 |-  .X. = ( .r ` A )
4 1 2 matrcl 
 |-  ( X e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
5 eqid 
 |-  ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
6 1 5 matmulr 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( .r ` A ) )
7 3 6 eqtr4id 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> .X. = ( R maMul <. N , N , N >. ) )
8 7 a1d 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> ( R e. Ring -> .X. = ( R maMul <. N , N , N >. ) ) )
9 4 8 syl 
 |-  ( X e. B -> ( R e. Ring -> .X. = ( R maMul <. N , N , N >. ) ) )
10 9 adantr 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( R e. Ring -> .X. = ( R maMul <. N , N , N >. ) ) )
11 10 impcom 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) ) -> .X. = ( R maMul <. N , N , N >. ) )
12 11 3adant3 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> .X. = ( R maMul <. N , N , N >. ) )
13 12 oveqd 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( X .X. Y ) = ( X ( R maMul <. N , N , N >. ) Y ) )
14 13 oveqd 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .X. Y ) J ) = ( I ( X ( R maMul <. N , N , N >. ) Y ) J ) )
15 eqid 
 |-  ( Base ` R ) = ( Base ` R )
16 eqid 
 |-  ( .r ` R ) = ( .r ` R )
17 simp1 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> R e. Ring )
18 4 simpld 
 |-  ( X e. B -> N e. Fin )
19 18 adantr 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> N e. Fin )
20 19 3ad2ant2 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> N e. Fin )
21 1 15 2 matbas2i 
 |-  ( X e. B -> X e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
22 21 adantr 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> X e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
23 22 3ad2ant2 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> X e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
24 1 15 2 matbas2i 
 |-  ( Y e. B -> Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
25 24 adantl 
 |-  ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
26 25 3ad2ant2 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> Y e. ( ( Base ` R ) ^m ( N X. N ) ) )
27 simp3l 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> I e. N )
28 simp3r 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> J e. N )
29 5 15 16 17 20 20 20 23 26 27 28 mamufv 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X ( R maMul <. N , N , N >. ) Y ) J ) = ( R gsum ( j e. N |-> ( ( I X j ) ( .r ` R ) ( j Y J ) ) ) ) )
30 14 29 eqtrd 
 |-  ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( I e. N /\ J e. N ) ) -> ( I ( X .X. Y ) J ) = ( R gsum ( j e. N |-> ( ( I X j ) ( .r ` R ) ( j Y J ) ) ) ) )