Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mulclpi |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. ) |
2 |
|
eleq1 |
|- ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A .N B ) e. N. <-> ( A .N C ) e. N. ) ) |
3 |
1 2
|
syl5ib |
|- ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. ) ) |
4 |
3
|
imp |
|- ( ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( A .N C ) e. N. ) |
5 |
|
dmmulpi |
|- dom .N = ( N. X. N. ) |
6 |
|
0npi |
|- -. (/) e. N. |
7 |
5 6
|
ndmovrcl |
|- ( ( A .N C ) e. N. -> ( A e. N. /\ C e. N. ) ) |
8 |
|
simpr |
|- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> C e. N. ) |
9 |
4 7 8
|
3syl |
|- ( ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> C e. N. ) |
10 |
|
mulpiord |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) ) |
11 |
10
|
adantr |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) ) |
12 |
|
mulpiord |
|- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) ) |
13 |
12
|
adantlr |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) ) |
14 |
11 13
|
eqeq12d |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> ( A .o B ) = ( A .o C ) ) ) |
15 |
|
pinn |
|- ( A e. N. -> A e. _om ) |
16 |
|
pinn |
|- ( B e. N. -> B e. _om ) |
17 |
|
pinn |
|- ( C e. N. -> C e. _om ) |
18 |
|
elni2 |
|- ( A e. N. <-> ( A e. _om /\ (/) e. A ) ) |
19 |
18
|
simprbi |
|- ( A e. N. -> (/) e. A ) |
20 |
|
nnmcan |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> B = C ) ) |
21 |
20
|
biimpd |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) |
22 |
19 21
|
sylan2 |
|- ( ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) /\ A e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) |
23 |
22
|
ex |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) |
24 |
15 16 17 23
|
syl3an |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) |
25 |
24
|
3exp |
|- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) ) |
26 |
25
|
com4r |
|- ( A e. N. -> ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) ) |
27 |
26
|
pm2.43i |
|- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) |
28 |
27
|
imp31 |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) |
29 |
14 28
|
sylbid |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) ) |
30 |
9 29
|
sylan2 |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) ) |
31 |
30
|
exp32 |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) ) ) ) |
32 |
31
|
imp4b |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> B = C ) ) |
33 |
32
|
pm2.43i |
|- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> B = C ) |
34 |
33
|
ex |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) ) |
35 |
|
oveq2 |
|- ( B = C -> ( A .N B ) = ( A .N C ) ) |
36 |
34 35
|
impbid1 |
|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) ) |