Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ngprcan.x |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
ngprcan.p |
|- .+ = ( +g ` G ) |
3 |
|
ngprcan.d |
|- D = ( dist ` G ) |
4 |
|
simplr |
|- ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> G e. Abel ) |
5 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X ) |
6 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X ) |
7 |
1 2
|
ablcom |
|- ( ( G e. Abel /\ C e. X /\ A e. X ) -> ( C .+ A ) = ( A .+ C ) ) |
8 |
4 5 6 7
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( C .+ A ) = ( A .+ C ) ) |
9 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X ) |
10 |
1 2
|
ablcom |
|- ( ( G e. Abel /\ C e. X /\ B e. X ) -> ( C .+ B ) = ( B .+ C ) ) |
11 |
4 5 9 10
|
syl3anc |
|- ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( C .+ B ) = ( B .+ C ) ) |
12 |
8 11
|
oveq12d |
|- ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( C .+ A ) D ( C .+ B ) ) = ( ( A .+ C ) D ( B .+ C ) ) ) |
13 |
1 2 3
|
ngprcan |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A .+ C ) D ( B .+ C ) ) = ( A D B ) ) |
14 |
13
|
adantlr |
|- ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A .+ C ) D ( B .+ C ) ) = ( A D B ) ) |
15 |
12 14
|
eqtrd |
|- ( ( ( G e. NrmGrp /\ G e. Abel ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( C .+ A ) D ( C .+ B ) ) = ( A D B ) ) |