Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ngprcan.x |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
ngprcan.p |
|- .+ = ( +g ` G ) |
3 |
|
ngprcan.d |
|- D = ( dist ` G ) |
4 |
|
ngpgrp |
|- ( G e. NrmGrp -> G e. Grp ) |
5 |
|
eqid |
|- ( -g ` G ) = ( -g ` G ) |
6 |
1 2 5
|
grppnpcan2 |
|- ( ( G e. Grp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A .+ C ) ( -g ` G ) ( B .+ C ) ) = ( A ( -g ` G ) B ) ) |
7 |
4 6
|
sylan |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A .+ C ) ( -g ` G ) ( B .+ C ) ) = ( A ( -g ` G ) B ) ) |
8 |
7
|
fveq2d |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( norm ` G ) ` ( ( A .+ C ) ( -g ` G ) ( B .+ C ) ) ) = ( ( norm ` G ) ` ( A ( -g ` G ) B ) ) ) |
9 |
|
simpl |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> G e. NrmGrp ) |
10 |
4
|
adantr |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> G e. Grp ) |
11 |
|
simpr1 |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X ) |
12 |
|
simpr3 |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X ) |
13 |
1 2
|
grpcl |
|- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A .+ C ) e. X ) |
14 |
10 11 12 13
|
syl3anc |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A .+ C ) e. X ) |
15 |
|
simpr2 |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X ) |
16 |
1 2
|
grpcl |
|- ( ( G e. Grp /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( B .+ C ) e. X ) |
17 |
10 15 12 16
|
syl3anc |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B .+ C ) e. X ) |
18 |
|
eqid |
|- ( norm ` G ) = ( norm ` G ) |
19 |
18 1 5 3
|
ngpds |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ ( A .+ C ) e. X /\ ( B .+ C ) e. X ) -> ( ( A .+ C ) D ( B .+ C ) ) = ( ( norm ` G ) ` ( ( A .+ C ) ( -g ` G ) ( B .+ C ) ) ) ) |
20 |
9 14 17 19
|
syl3anc |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A .+ C ) D ( B .+ C ) ) = ( ( norm ` G ) ` ( ( A .+ C ) ( -g ` G ) ( B .+ C ) ) ) ) |
21 |
18 1 5 3
|
ngpds |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( ( norm ` G ) ` ( A ( -g ` G ) B ) ) ) |
22 |
9 11 15 21
|
syl3anc |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) = ( ( norm ` G ) ` ( A ( -g ` G ) B ) ) ) |
23 |
8 20 22
|
3eqtr4d |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A .+ C ) D ( B .+ C ) ) = ( A D B ) ) |