Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nmf.x |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
nmf.n |
|- N = ( norm ` G ) |
3 |
|
nmtri.p |
|- .+ = ( +g ` G ) |
4 |
|
ngpgrp |
|- ( G e. NrmGrp -> G e. Grp ) |
5 |
4
|
3ad2ant1 |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> G e. Grp ) |
6 |
|
simp3 |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> B e. X ) |
7 |
|
eqid |
|- ( invg ` G ) = ( invg ` G ) |
8 |
1 7
|
grpinvcl |
|- ( ( G e. Grp /\ B e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X ) |
9 |
5 6 8
|
syl2anc |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` B ) e. X ) |
10 |
|
eqid |
|- ( -g ` G ) = ( -g ` G ) |
11 |
1 2 10
|
nmmtri |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ ( ( invg ` G ) ` B ) e. X ) -> ( N ` ( A ( -g ` G ) ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) <_ ( ( N ` A ) + ( N ` ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) ) |
12 |
9 11
|
syld3an3 |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A ( -g ` G ) ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) <_ ( ( N ` A ) + ( N ` ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) ) |
13 |
|
simp2 |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> A e. X ) |
14 |
1 3 10 7 5 13 6
|
grpsubinv |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( -g ` G ) ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( A .+ B ) ) |
15 |
14
|
fveq2d |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A ( -g ` G ) ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) = ( N ` ( A .+ B ) ) ) |
16 |
1 2 7
|
nminv |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ B e. X ) -> ( N ` ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( N ` B ) ) |
17 |
16
|
3adant2 |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( ( invg ` G ) ` B ) ) = ( N ` B ) ) |
18 |
17
|
oveq2d |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` A ) + ( N ` ( ( invg ` G ) ` B ) ) ) = ( ( N ` A ) + ( N ` B ) ) ) |
19 |
12 15 18
|
3brtr3d |
|- ( ( G e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A .+ B ) ) <_ ( ( N ` A ) + ( N ` B ) ) ) |