Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq2 |
|- ( x = (/) -> ( A +o x ) = ( A +o (/) ) ) |
2 |
|
oveq2 |
|- ( x = (/) -> ( B +o x ) = ( B +o (/) ) ) |
3 |
1 2
|
sseq12d |
|- ( x = (/) -> ( ( A +o x ) C_ ( B +o x ) <-> ( A +o (/) ) C_ ( B +o (/) ) ) ) |
4 |
3
|
imbi2d |
|- ( x = (/) -> ( ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) <-> ( A C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( B +o (/) ) ) ) ) |
5 |
4
|
imbi2d |
|- ( x = (/) -> ( ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) ) <-> ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( B +o (/) ) ) ) ) ) |
6 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( A +o x ) = ( A +o y ) ) |
7 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( B +o x ) = ( B +o y ) ) |
8 |
6 7
|
sseq12d |
|- ( x = y -> ( ( A +o x ) C_ ( B +o x ) <-> ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) ) |
9 |
8
|
imbi2d |
|- ( x = y -> ( ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) <-> ( A C_ B -> ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) ) ) |
10 |
9
|
imbi2d |
|- ( x = y -> ( ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) ) <-> ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B -> ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) ) ) ) |
11 |
|
oveq2 |
|- ( x = suc y -> ( A +o x ) = ( A +o suc y ) ) |
12 |
|
oveq2 |
|- ( x = suc y -> ( B +o x ) = ( B +o suc y ) ) |
13 |
11 12
|
sseq12d |
|- ( x = suc y -> ( ( A +o x ) C_ ( B +o x ) <-> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) ) |
14 |
13
|
imbi2d |
|- ( x = suc y -> ( ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) <-> ( A C_ B -> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) ) ) |
15 |
14
|
imbi2d |
|- ( x = suc y -> ( ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) ) <-> ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B -> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) ) ) ) |
16 |
|
oveq2 |
|- ( x = C -> ( A +o x ) = ( A +o C ) ) |
17 |
|
oveq2 |
|- ( x = C -> ( B +o x ) = ( B +o C ) ) |
18 |
16 17
|
sseq12d |
|- ( x = C -> ( ( A +o x ) C_ ( B +o x ) <-> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) ) |
19 |
18
|
imbi2d |
|- ( x = C -> ( ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) <-> ( A C_ B -> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) ) ) |
20 |
19
|
imbi2d |
|- ( x = C -> ( ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B -> ( A +o x ) C_ ( B +o x ) ) ) <-> ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B -> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) ) ) ) |
21 |
|
nnon |
|- ( A e. _om -> A e. On ) |
22 |
|
nnon |
|- ( B e. _om -> B e. On ) |
23 |
|
oa0 |
|- ( A e. On -> ( A +o (/) ) = A ) |
24 |
23
|
adantr |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A +o (/) ) = A ) |
25 |
|
oa0 |
|- ( B e. On -> ( B +o (/) ) = B ) |
26 |
25
|
adantl |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( B +o (/) ) = B ) |
27 |
24 26
|
sseq12d |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A +o (/) ) C_ ( B +o (/) ) <-> A C_ B ) ) |
28 |
27
|
biimprd |
|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( B +o (/) ) ) ) |
29 |
21 22 28
|
syl2an |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B -> ( A +o (/) ) C_ ( B +o (/) ) ) ) |
30 |
|
nnacl |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( A +o y ) e. _om ) |
31 |
30
|
ancoms |
|- ( ( y e. _om /\ A e. _om ) -> ( A +o y ) e. _om ) |
32 |
31
|
adantrr |
|- ( ( y e. _om /\ ( A e. _om /\ B e. _om ) ) -> ( A +o y ) e. _om ) |
33 |
|
nnon |
|- ( ( A +o y ) e. _om -> ( A +o y ) e. On ) |
34 |
|
eloni |
|- ( ( A +o y ) e. On -> Ord ( A +o y ) ) |
35 |
32 33 34
|
3syl |
|- ( ( y e. _om /\ ( A e. _om /\ B e. _om ) ) -> Ord ( A +o y ) ) |
36 |
|
nnacl |
|- ( ( B e. _om /\ y e. _om ) -> ( B +o y ) e. _om ) |
37 |
36
|
ancoms |
|- ( ( y e. _om /\ B e. _om ) -> ( B +o y ) e. _om ) |
38 |
37
|
adantrl |
|- ( ( y e. _om /\ ( A e. _om /\ B e. _om ) ) -> ( B +o y ) e. _om ) |
39 |
|
nnon |
|- ( ( B +o y ) e. _om -> ( B +o y ) e. On ) |
40 |
|
eloni |
|- ( ( B +o y ) e. On -> Ord ( B +o y ) ) |
41 |
38 39 40
|
3syl |
|- ( ( y e. _om /\ ( A e. _om /\ B e. _om ) ) -> Ord ( B +o y ) ) |
42 |
|
ordsucsssuc |
|- ( ( Ord ( A +o y ) /\ Ord ( B +o y ) ) -> ( ( A +o y ) C_ ( B +o y ) <-> suc ( A +o y ) C_ suc ( B +o y ) ) ) |
43 |
35 41 42
|
syl2anc |
|- ( ( y e. _om /\ ( A e. _om /\ B e. _om ) ) -> ( ( A +o y ) C_ ( B +o y ) <-> suc ( A +o y ) C_ suc ( B +o y ) ) ) |
44 |
43
|
biimpa |
|- ( ( ( y e. _om /\ ( A e. _om /\ B e. _om ) ) /\ ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) -> suc ( A +o y ) C_ suc ( B +o y ) ) |
45 |
|
nnasuc |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) ) |
46 |
45
|
ancoms |
|- ( ( y e. _om /\ A e. _om ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) ) |
47 |
46
|
adantrr |
|- ( ( y e. _om /\ ( A e. _om /\ B e. _om ) ) -> ( A +o suc y ) = suc ( A +o y ) ) |
48 |
|
nnasuc |
|- ( ( B e. _om /\ y e. _om ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) ) |
49 |
48
|
ancoms |
|- ( ( y e. _om /\ B e. _om ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) ) |
50 |
49
|
adantrl |
|- ( ( y e. _om /\ ( A e. _om /\ B e. _om ) ) -> ( B +o suc y ) = suc ( B +o y ) ) |
51 |
47 50
|
sseq12d |
|- ( ( y e. _om /\ ( A e. _om /\ B e. _om ) ) -> ( ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) <-> suc ( A +o y ) C_ suc ( B +o y ) ) ) |
52 |
51
|
adantr |
|- ( ( ( y e. _om /\ ( A e. _om /\ B e. _om ) ) /\ ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) -> ( ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) <-> suc ( A +o y ) C_ suc ( B +o y ) ) ) |
53 |
44 52
|
mpbird |
|- ( ( ( y e. _om /\ ( A e. _om /\ B e. _om ) ) /\ ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) -> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) |
54 |
53
|
ex |
|- ( ( y e. _om /\ ( A e. _om /\ B e. _om ) ) -> ( ( A +o y ) C_ ( B +o y ) -> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) ) |
55 |
54
|
imim2d |
|- ( ( y e. _om /\ ( A e. _om /\ B e. _om ) ) -> ( ( A C_ B -> ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) -> ( A C_ B -> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) ) ) |
56 |
55
|
ex |
|- ( y e. _om -> ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( A C_ B -> ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) -> ( A C_ B -> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) ) ) ) |
57 |
56
|
a2d |
|- ( y e. _om -> ( ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B -> ( A +o y ) C_ ( B +o y ) ) ) -> ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B -> ( A +o suc y ) C_ ( B +o suc y ) ) ) ) ) |
58 |
5 10 15 20 29 57
|
finds |
|- ( C e. _om -> ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A C_ B -> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) ) ) |
59 |
58
|
com12 |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( C e. _om -> ( A C_ B -> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) ) ) |
60 |
59
|
3impia |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om /\ C e. _om ) -> ( A C_ B -> ( A +o C ) C_ ( B +o C ) ) ) |