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Theorem nrgdsdir

Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015)

Ref Expression
Hypotheses nmmul.x 
|- X = ( Base ` R )
nmmul.n 
|- N = ( norm ` R )
nmmul.t 
|- .x. = ( .r ` R )
nrgdsdi.d 
|- D = ( dist ` R )
Assertion nrgdsdir 
|- ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D B ) x. ( N ` C ) ) = ( ( A .x. C ) D ( B .x. C ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 nmmul.x 
 |-  X = ( Base ` R )
2 nmmul.n 
 |-  N = ( norm ` R )
3 nmmul.t 
 |-  .x. = ( .r ` R )
4 nrgdsdi.d 
 |-  D = ( dist ` R )
5 simpl 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> R e. NrmRing )
6 nrgring 
 |-  ( R e. NrmRing -> R e. Ring )
7 6 adantr 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> R e. Ring )
8 ringgrp 
 |-  ( R e. Ring -> R e. Grp )
9 7 8 syl 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> R e. Grp )
10 simpr1 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X )
11 simpr2 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
12 eqid 
 |-  ( -g ` R ) = ( -g ` R )
13 1 12 grpsubcl 
 |-  ( ( R e. Grp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( -g ` R ) B ) e. X )
14 9 10 11 13 syl3anc 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A ( -g ` R ) B ) e. X )
15 simpr3 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
16 1 2 3 nmmul 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A ( -g ` R ) B ) e. X /\ C e. X ) -> ( N ` ( ( A ( -g ` R ) B ) .x. C ) ) = ( ( N ` ( A ( -g ` R ) B ) ) x. ( N ` C ) ) )
17 5 14 15 16 syl3anc 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( N ` ( ( A ( -g ` R ) B ) .x. C ) ) = ( ( N ` ( A ( -g ` R ) B ) ) x. ( N ` C ) ) )
18 1 3 12 7 10 11 15 rngsubdir 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A ( -g ` R ) B ) .x. C ) = ( ( A .x. C ) ( -g ` R ) ( B .x. C ) ) )
19 18 fveq2d 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( N ` ( ( A ( -g ` R ) B ) .x. C ) ) = ( N ` ( ( A .x. C ) ( -g ` R ) ( B .x. C ) ) ) )
20 17 19 eqtr3d 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( N ` ( A ( -g ` R ) B ) ) x. ( N ` C ) ) = ( N ` ( ( A .x. C ) ( -g ` R ) ( B .x. C ) ) ) )
21 nrgngp 
 |-  ( R e. NrmRing -> R e. NrmGrp )
22 21 adantr 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> R e. NrmGrp )
23 2 1 12 4 ngpds 
 |-  ( ( R e. NrmGrp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A ( -g ` R ) B ) ) )
24 22 10 11 23 syl3anc 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A ( -g ` R ) B ) ) )
25 24 oveq1d 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D B ) x. ( N ` C ) ) = ( ( N ` ( A ( -g ` R ) B ) ) x. ( N ` C ) ) )
26 1 3 ringcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ A e. X /\ C e. X ) -> ( A .x. C ) e. X )
27 7 10 15 26 syl3anc 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A .x. C ) e. X )
28 1 3 ringcl 
 |-  ( ( R e. Ring /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( B .x. C ) e. X )
29 7 11 15 28 syl3anc 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( B .x. C ) e. X )
30 2 1 12 4 ngpds 
 |-  ( ( R e. NrmGrp /\ ( A .x. C ) e. X /\ ( B .x. C ) e. X ) -> ( ( A .x. C ) D ( B .x. C ) ) = ( N ` ( ( A .x. C ) ( -g ` R ) ( B .x. C ) ) ) )
31 22 27 29 30 syl3anc 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A .x. C ) D ( B .x. C ) ) = ( N ` ( ( A .x. C ) ( -g ` R ) ( B .x. C ) ) ) )
32 20 25 31 3eqtr4d 
 |-  ( ( R e. NrmRing /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A D B ) x. ( N ` C ) ) = ( ( A .x. C ) D ( B .x. C ) ) )