Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
weeq2 |
|- ( A = B -> ( R We A <-> R We B ) ) |
2 |
|
seeq2 |
|- ( A = B -> ( R Se A <-> R Se B ) ) |
3 |
1 2
|
anbi12d |
|- ( A = B -> ( ( R We A /\ R Se A ) <-> ( R We B /\ R Se B ) ) ) |
4 |
|
rabeq |
|- ( A = B -> { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { w e. B | A. j e. ran h j R w } ) |
5 |
4
|
raleqdv |
|- ( A = B -> ( A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v <-> A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) |
6 |
4 5
|
riotaeqbidv |
|- ( A = B -> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) = ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) |
7 |
6
|
mpteq2dv |
|- ( A = B -> ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |
8 |
|
recseq |
|- ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) ) |
9 |
7 8
|
syl |
|- ( A = B -> recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) ) |
10 |
9
|
imaeq1d |
|- ( A = B -> ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) = ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) ) |
11 |
10
|
raleqdv |
|- ( A = B -> ( A. z e. ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t <-> A. z e. ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t ) ) |
12 |
11
|
rexeqbi1dv |
|- ( A = B -> ( E. t e. A A. z e. ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t <-> E. t e. B A. z e. ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t ) ) |
13 |
12
|
rabbidv |
|- ( A = B -> { x e. On | E. t e. A A. z e. ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } = { x e. On | E. t e. B A. z e. ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) |
14 |
9 13
|
reseq12d |
|- ( A = B -> ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) = ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. B A. z e. ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) ) |
15 |
3 14
|
ifbieq1d |
|- ( A = B -> if ( ( R We A /\ R Se A ) , ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) ) = if ( ( R We B /\ R Se B ) , ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. B A. z e. ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) ) ) |
16 |
|
df-oi |
|- OrdIso ( R , A ) = if ( ( R We A /\ R Se A ) , ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. A A. z e. ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) ) |
17 |
|
df-oi |
|- OrdIso ( R , B ) = if ( ( R We B /\ R Se B ) , ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) |` { x e. On | E. t e. B A. z e. ( recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. B | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) " x ) z R t } ) , (/) ) |
18 |
15 16 17
|
3eqtr4g |
|- ( A = B -> OrdIso ( R , A ) = OrdIso ( R , B ) ) |