Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oldmm1.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
oldmm1.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
oldmm1.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
oldmm1.o |
|- ._|_ = ( oc ` K ) |
5 |
|
olop |
|- ( K e. OL -> K e. OP ) |
6 |
1 4
|
opoccl |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B ) |
7 |
5 6
|
sylan |
|- ( ( K e. OL /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B ) |
8 |
7
|
3adant3 |
|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B ) |
9 |
1 2 3 4
|
oldmj1 |
|- ( ( K e. OL /\ ( ._|_ ` X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ Y ) ) = ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) ) |
10 |
8 9
|
syld3an2 |
|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ Y ) ) = ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) ) |
11 |
1 4
|
opococ |
|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X ) |
12 |
5 11
|
sylan |
|- ( ( K e. OL /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X ) |
13 |
12
|
3adant3 |
|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X ) |
14 |
13
|
oveq1d |
|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) = ( X ./\ ( ._|_ ` Y ) ) ) |
15 |
10 14
|
eqtrd |
|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ Y ) ) = ( X ./\ ( ._|_ ` Y ) ) ) |