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Theorem oldmj1

Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. ( chdmj1 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011)

Ref Expression
Hypotheses oldmm1.b 
|- B = ( Base ` K )
oldmm1.j 
|- .\/ = ( join ` K )
oldmm1.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
oldmm1.o 
|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion oldmj1 
|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( X .\/ Y ) ) = ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 oldmm1.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 oldmm1.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 oldmm1.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 oldmm1.o 
 |-  ._|_ = ( oc ` K )
5 1 2 3 4 oldmm4 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( X .\/ Y ) )
6 5 fveq2d 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) = ( ._|_ ` ( X .\/ Y ) ) )
7 olop 
 |-  ( K e. OL -> K e. OP )
8 7 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. OP )
9 ollat 
 |-  ( K e. OL -> K e. Lat )
10 9 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. Lat )
11 1 4 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
12 7 11 sylan 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
13 12 3adant3 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
14 1 4 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
15 7 14 sylan 
 |-  ( ( K e. OL /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
16 15 3adant2 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
17 1 3 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) e. B )
18 10 13 16 17 syl3anc 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) e. B )
19 1 4 opococ 
 |-  ( ( K e. OP /\ ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) )
20 8 18 19 syl2anc 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) )
21 6 20 eqtr3d 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( X .\/ Y ) ) = ( ( ._|_ ` X ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) )