Theorem oldmj4

Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. ( chdmj4 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011)

	Ref	Expression
Hypotheses	oldmm1.b	|- B = ( Base ` K )
	oldmm1.j	|- .\/ = ( join ` K )
	oldmm1.m	|- ./\ = ( meet ` K )
	oldmm1.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion	oldmj4	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( X ./\ Y ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldmm1.b	|- B = ( Base ` K )
2		oldmm1.j	|- .\/ = ( join ` K )
3		oldmm1.m	|- ./\ = ( meet ` K )
4		oldmm1.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
5		olop	|- ( K e. OL -> K e. OP )
6	1 4	opoccl	|- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
7	5 6	sylan	|- ( ( K e. OL /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
8	7	3adant2	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
9	1 2 3 4	oldmj2	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( X ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) )
10	8 9	syld3an3	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( X ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) )
11	1 4	opococ	|- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
12	5 11	sylan	|- ( ( K e. OL /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
13	12	3adant2	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
14	13	oveq2d	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( X ./\ Y ) )
15	10 14	eqtrd	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ) = ( X ./\ Y ) )