Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
om2uz.1 |
|- C e. ZZ |
2 |
|
om2uz.2 |
|- G = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , C ) |` _om ) |
3 |
|
eleq2 |
|- ( z = (/) -> ( A e. z <-> A e. (/) ) ) |
4 |
|
fveq2 |
|- ( z = (/) -> ( G ` z ) = ( G ` (/) ) ) |
5 |
4
|
breq2d |
|- ( z = (/) -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) ) |
6 |
3 5
|
imbi12d |
|- ( z = (/) -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) ) ) |
7 |
6
|
imbi2d |
|- ( z = (/) -> ( ( A e. _om -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( A e. _om -> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) ) ) ) |
8 |
|
eleq2 |
|- ( z = y -> ( A e. z <-> A e. y ) ) |
9 |
|
fveq2 |
|- ( z = y -> ( G ` z ) = ( G ` y ) ) |
10 |
9
|
breq2d |
|- ( z = y -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) |
11 |
8 10
|
imbi12d |
|- ( z = y -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) ) |
12 |
11
|
imbi2d |
|- ( z = y -> ( ( A e. _om -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( A e. _om -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) ) ) |
13 |
|
eleq2 |
|- ( z = suc y -> ( A e. z <-> A e. suc y ) ) |
14 |
|
fveq2 |
|- ( z = suc y -> ( G ` z ) = ( G ` suc y ) ) |
15 |
14
|
breq2d |
|- ( z = suc y -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) |
16 |
13 15
|
imbi12d |
|- ( z = suc y -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) |
17 |
16
|
imbi2d |
|- ( z = suc y -> ( ( A e. _om -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( A e. _om -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) ) |
18 |
|
eleq2 |
|- ( z = B -> ( A e. z <-> A e. B ) ) |
19 |
|
fveq2 |
|- ( z = B -> ( G ` z ) = ( G ` B ) ) |
20 |
19
|
breq2d |
|- ( z = B -> ( ( G ` A ) < ( G ` z ) <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) |
21 |
18 20
|
imbi12d |
|- ( z = B -> ( ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) <-> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) ) |
22 |
21
|
imbi2d |
|- ( z = B -> ( ( A e. _om -> ( A e. z -> ( G ` A ) < ( G ` z ) ) ) <-> ( A e. _om -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) ) ) |
23 |
|
noel |
|- -. A e. (/) |
24 |
23
|
pm2.21i |
|- ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) |
25 |
24
|
a1i |
|- ( A e. _om -> ( A e. (/) -> ( G ` A ) < ( G ` (/) ) ) ) |
26 |
|
id |
|- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) |
27 |
|
fveq2 |
|- ( A = y -> ( G ` A ) = ( G ` y ) ) |
28 |
27
|
a1i |
|- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A = y -> ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) |
29 |
26 28
|
orim12d |
|- ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) ) |
30 |
|
elsuc2g |
|- ( y e. _om -> ( A e. suc y <-> ( A e. y \/ A = y ) ) ) |
31 |
30
|
bicomd |
|- ( y e. _om -> ( ( A e. y \/ A = y ) <-> A e. suc y ) ) |
32 |
31
|
adantl |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) <-> A e. suc y ) ) |
33 |
1 2
|
om2uzsuci |
|- ( y e. _om -> ( G ` suc y ) = ( ( G ` y ) + 1 ) ) |
34 |
33
|
breq2d |
|- ( y e. _om -> ( ( G ` A ) < ( G ` suc y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) ) |
35 |
34
|
adantl |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` suc y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) ) |
36 |
1 2
|
om2uzuzi |
|- ( A e. _om -> ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) ) |
37 |
1 2
|
om2uzuzi |
|- ( y e. _om -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) |
38 |
|
eluzelz |
|- ( ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` A ) e. ZZ ) |
39 |
|
eluzelz |
|- ( ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) -> ( G ` y ) e. ZZ ) |
40 |
|
zleltp1 |
|- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` y ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) ) |
41 |
38 39 40
|
syl2an |
|- ( ( ( G ` A ) e. ( ZZ>= ` C ) /\ ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` C ) ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) ) |
42 |
36 37 41
|
syl2an |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( G ` A ) < ( ( G ` y ) + 1 ) ) ) |
43 |
36 38
|
syl |
|- ( A e. _om -> ( G ` A ) e. ZZ ) |
44 |
43
|
zred |
|- ( A e. _om -> ( G ` A ) e. RR ) |
45 |
37 39
|
syl |
|- ( y e. _om -> ( G ` y ) e. ZZ ) |
46 |
45
|
zred |
|- ( y e. _om -> ( G ` y ) e. RR ) |
47 |
|
leloe |
|- ( ( ( G ` A ) e. RR /\ ( G ` y ) e. RR ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) ) |
48 |
44 46 47
|
syl2an |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` y ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) ) |
49 |
35 42 48
|
3bitr2rd |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) <-> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) |
50 |
32 49
|
imbi12d |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( ( G ` A ) < ( G ` y ) \/ ( G ` A ) = ( G ` y ) ) ) <-> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) |
51 |
29 50
|
syl5ib |
|- ( ( A e. _om /\ y e. _om ) -> ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) |
52 |
51
|
expcom |
|- ( y e. _om -> ( A e. _om -> ( ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) ) |
53 |
52
|
a2d |
|- ( y e. _om -> ( ( A e. _om -> ( A e. y -> ( G ` A ) < ( G ` y ) ) ) -> ( A e. _om -> ( A e. suc y -> ( G ` A ) < ( G ` suc y ) ) ) ) ) |
54 |
7 12 17 22 25 53
|
finds |
|- ( B e. _om -> ( A e. _om -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) ) |
55 |
54
|
impcom |
|- ( ( A e. _om /\ B e. _om ) -> ( A e. B -> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) ) |