Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
omopthlem2.1 |
|- A e. _om |
2 |
|
omopthlem2.2 |
|- B e. _om |
3 |
|
omopthlem2.3 |
|- C e. _om |
4 |
|
omopthlem2.4 |
|- D e. _om |
5 |
3 3
|
nnmcli |
|- ( C .o C ) e. _om |
6 |
5 4
|
nnacli |
|- ( ( C .o C ) +o D ) e. _om |
7 |
6
|
nnoni |
|- ( ( C .o C ) +o D ) e. On |
8 |
7
|
onirri |
|- -. ( ( C .o C ) +o D ) e. ( ( C .o C ) +o D ) |
9 |
|
eleq1 |
|- ( ( ( C .o C ) +o D ) = ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) -> ( ( ( C .o C ) +o D ) e. ( ( C .o C ) +o D ) <-> ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) e. ( ( C .o C ) +o D ) ) ) |
10 |
8 9
|
mtbii |
|- ( ( ( C .o C ) +o D ) = ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) -> -. ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) e. ( ( C .o C ) +o D ) ) |
11 |
|
nnaword1 |
|- ( ( ( C .o C ) e. _om /\ D e. _om ) -> ( C .o C ) C_ ( ( C .o C ) +o D ) ) |
12 |
5 4 11
|
mp2an |
|- ( C .o C ) C_ ( ( C .o C ) +o D ) |
13 |
1 2
|
nnacli |
|- ( A +o B ) e. _om |
14 |
13 1
|
nnacli |
|- ( ( A +o B ) +o A ) e. _om |
15 |
|
nnaword1 |
|- ( ( B e. _om /\ ( ( A +o B ) +o A ) e. _om ) -> B C_ ( B +o ( ( A +o B ) +o A ) ) ) |
16 |
2 14 15
|
mp2an |
|- B C_ ( B +o ( ( A +o B ) +o A ) ) |
17 |
|
nnacom |
|- ( ( B e. _om /\ ( ( A +o B ) +o A ) e. _om ) -> ( B +o ( ( A +o B ) +o A ) ) = ( ( ( A +o B ) +o A ) +o B ) ) |
18 |
2 14 17
|
mp2an |
|- ( B +o ( ( A +o B ) +o A ) ) = ( ( ( A +o B ) +o A ) +o B ) |
19 |
16 18
|
sseqtri |
|- B C_ ( ( ( A +o B ) +o A ) +o B ) |
20 |
|
nnaass |
|- ( ( ( A +o B ) e. _om /\ A e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( ( A +o B ) +o A ) +o B ) = ( ( A +o B ) +o ( A +o B ) ) ) |
21 |
13 1 2 20
|
mp3an |
|- ( ( ( A +o B ) +o A ) +o B ) = ( ( A +o B ) +o ( A +o B ) ) |
22 |
|
nnm2 |
|- ( ( A +o B ) e. _om -> ( ( A +o B ) .o 2o ) = ( ( A +o B ) +o ( A +o B ) ) ) |
23 |
13 22
|
ax-mp |
|- ( ( A +o B ) .o 2o ) = ( ( A +o B ) +o ( A +o B ) ) |
24 |
21 23
|
eqtr4i |
|- ( ( ( A +o B ) +o A ) +o B ) = ( ( A +o B ) .o 2o ) |
25 |
19 24
|
sseqtri |
|- B C_ ( ( A +o B ) .o 2o ) |
26 |
|
2onn |
|- 2o e. _om |
27 |
13 26
|
nnmcli |
|- ( ( A +o B ) .o 2o ) e. _om |
28 |
13 13
|
nnmcli |
|- ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) e. _om |
29 |
|
nnawordi |
|- ( ( B e. _om /\ ( ( A +o B ) .o 2o ) e. _om /\ ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) e. _om ) -> ( B C_ ( ( A +o B ) .o 2o ) -> ( B +o ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) ) C_ ( ( ( A +o B ) .o 2o ) +o ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) ) ) ) |
30 |
2 27 28 29
|
mp3an |
|- ( B C_ ( ( A +o B ) .o 2o ) -> ( B +o ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) ) C_ ( ( ( A +o B ) .o 2o ) +o ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) ) ) |
31 |
25 30
|
ax-mp |
|- ( B +o ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) ) C_ ( ( ( A +o B ) .o 2o ) +o ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) ) |
32 |
|
nnacom |
|- ( ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) e. _om /\ B e. _om ) -> ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) = ( B +o ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) ) ) |
33 |
28 2 32
|
mp2an |
|- ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) = ( B +o ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) ) |
34 |
|
nnacom |
|- ( ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) e. _om /\ ( ( A +o B ) .o 2o ) e. _om ) -> ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o ( ( A +o B ) .o 2o ) ) = ( ( ( A +o B ) .o 2o ) +o ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) ) ) |
35 |
28 27 34
|
mp2an |
|- ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o ( ( A +o B ) .o 2o ) ) = ( ( ( A +o B ) .o 2o ) +o ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) ) |
36 |
31 33 35
|
3sstr4i |
|- ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) C_ ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o ( ( A +o B ) .o 2o ) ) |
37 |
13 3
|
omopthlem1 |
|- ( ( A +o B ) e. C -> ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o ( ( A +o B ) .o 2o ) ) e. ( C .o C ) ) |
38 |
28 2
|
nnacli |
|- ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) e. _om |
39 |
38
|
nnoni |
|- ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) e. On |
40 |
5
|
nnoni |
|- ( C .o C ) e. On |
41 |
|
ontr2 |
|- ( ( ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) e. On /\ ( C .o C ) e. On ) -> ( ( ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) C_ ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o ( ( A +o B ) .o 2o ) ) /\ ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o ( ( A +o B ) .o 2o ) ) e. ( C .o C ) ) -> ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) e. ( C .o C ) ) ) |
42 |
39 40 41
|
mp2an |
|- ( ( ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) C_ ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o ( ( A +o B ) .o 2o ) ) /\ ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o ( ( A +o B ) .o 2o ) ) e. ( C .o C ) ) -> ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) e. ( C .o C ) ) |
43 |
36 37 42
|
sylancr |
|- ( ( A +o B ) e. C -> ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) e. ( C .o C ) ) |
44 |
12 43
|
sselid |
|- ( ( A +o B ) e. C -> ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) e. ( ( C .o C ) +o D ) ) |
45 |
10 44
|
nsyl3 |
|- ( ( A +o B ) e. C -> -. ( ( C .o C ) +o D ) = ( ( ( A +o B ) .o ( A +o B ) ) +o B ) ) |