Theorem opltcon1b

Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. ( chpsscon1 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2011)

	Ref	Expression
Hypotheses	opltcon3.b	|- B = ( Base ` K )
	opltcon3.s	|- .< = ( lt ` K )
	opltcon3.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion	opltcon1b	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .< Y <-> ( ._|_ ` Y ) .< X ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opltcon3.b	|- B = ( Base ` K )
2		opltcon3.s	|- .< = ( lt ` K )
3		opltcon3.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
4	1 3	opoccl	|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
5	4	3adant3	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
6	1 2 3	opltcon3b	|- ( ( K e. OP /\ ( ._|_ ` X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .< Y <-> ( ._|_ ` Y ) .< ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )
7	5 6	syld3an2	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .< Y <-> ( ._|_ ` Y ) .< ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )
8	1 3	opococ	|- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
9	8	3adant3	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
10	9	breq2d	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) .< ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) <-> ( ._|_ ` Y ) .< X ) )
11	7 10	bitrd	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) .< Y <-> ( ._|_ ` Y ) .< X ) )