Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oprres.v |
|- ( ( ph /\ x e. Y /\ y e. Y ) -> ( x F y ) = ( x G y ) ) |
2 |
|
oprres.s |
|- ( ph -> Y C_ X ) |
3 |
|
oprres.f |
|- ( ph -> F : ( Y X. Y ) --> R ) |
4 |
|
oprres.g |
|- ( ph -> G : ( X X. X ) --> S ) |
5 |
1
|
3expb |
|- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x F y ) = ( x G y ) ) |
6 |
|
ovres |
|- ( ( x e. Y /\ y e. Y ) -> ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) = ( x G y ) ) |
7 |
6
|
adantl |
|- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) = ( x G y ) ) |
8 |
5 7
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ y e. Y ) ) -> ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) |
9 |
8
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) |
10 |
|
eqid |
|- ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) |
11 |
9 10
|
jctil |
|- ( ph -> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) ) |
12 |
3
|
ffnd |
|- ( ph -> F Fn ( Y X. Y ) ) |
13 |
4
|
ffnd |
|- ( ph -> G Fn ( X X. X ) ) |
14 |
|
xpss12 |
|- ( ( Y C_ X /\ Y C_ X ) -> ( Y X. Y ) C_ ( X X. X ) ) |
15 |
2 2 14
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( Y X. Y ) C_ ( X X. X ) ) |
16 |
|
fnssres |
|- ( ( G Fn ( X X. X ) /\ ( Y X. Y ) C_ ( X X. X ) ) -> ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) ) |
17 |
13 15 16
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) ) |
18 |
|
eqfnov |
|- ( ( F Fn ( Y X. Y ) /\ ( G |` ( Y X. Y ) ) Fn ( Y X. Y ) ) -> ( F = ( G |` ( Y X. Y ) ) <-> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) ) ) |
19 |
12 17 18
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( F = ( G |` ( Y X. Y ) ) <-> ( ( Y X. Y ) = ( Y X. Y ) /\ A. x e. Y A. y e. Y ( x F y ) = ( x ( G |` ( Y X. Y ) ) y ) ) ) ) |
20 |
11 19
|
mpbird |
|- ( ph -> F = ( G |` ( Y X. Y ) ) ) |