Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
opsrle.s |
|- S = ( I mPwSer R ) |
2 |
|
opsrle.o |
|- O = ( ( I ordPwSer R ) ` T ) |
3 |
|
opsrle.b |
|- B = ( Base ` S ) |
4 |
|
opsrle.q |
|- .< = ( lt ` R ) |
5 |
|
opsrle.c |
|- C = ( T |
6 |
|
opsrle.d |
|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |
7 |
|
opsrle.l |
|- .<_ = ( le ` O ) |
8 |
|
opsrle.t |
|- ( ph -> T C_ ( I X. I ) ) |
9 |
|
eqid |
|- { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } |
10 |
|
simprl |
|- ( ( ph /\ ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> I e. _V ) |
11 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> R e. _V ) |
12 |
8
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> T C_ ( I X. I ) ) |
13 |
1 2 3 4 5 6 9 10 11 12
|
opsrval |
|- ( ( ph /\ ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> O = ( S sSet <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } >. ) ) |
14 |
13
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( le ` O ) = ( le ` ( S sSet <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } >. ) ) ) |
15 |
1
|
ovexi |
|- S e. _V |
16 |
3
|
fvexi |
|- B e. _V |
17 |
16 16
|
xpex |
|- ( B X. B ) e. _V |
18 |
|
vex |
|- x e. _V |
19 |
|
vex |
|- y e. _V |
20 |
18 19
|
prss |
|- ( ( x e. B /\ y e. B ) <-> { x , y } C_ B ) |
21 |
20
|
anbi1i |
|- ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) <-> ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) ) |
22 |
21
|
opabbii |
|- { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } |
23 |
|
opabssxp |
|- { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } C_ ( B X. B ) |
24 |
22 23
|
eqsstrri |
|- { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } C_ ( B X. B ) |
25 |
17 24
|
ssexi |
|- { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } e. _V |
26 |
|
pleid |
|- le = Slot ( le ` ndx ) |
27 |
26
|
setsid |
|- ( ( S e. _V /\ { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } e. _V ) -> { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } = ( le ` ( S sSet <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } >. ) ) ) |
28 |
15 25 27
|
mp2an |
|- { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } = ( le ` ( S sSet <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } >. ) ) |
29 |
14 7 28
|
3eqtr4g |
|- ( ( ph /\ ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> .<_ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } ) |
30 |
|
reldmopsr |
|- Rel dom ordPwSer |
31 |
30
|
ovprc |
|- ( -. ( I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I ordPwSer R ) = (/) ) |
32 |
31
|
adantl |
|- ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( I ordPwSer R ) = (/) ) |
33 |
32
|
fveq1d |
|- ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( ( I ordPwSer R ) ` T ) = ( (/) ` T ) ) |
34 |
2 33
|
syl5eq |
|- ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> O = ( (/) ` T ) ) |
35 |
|
0fv |
|- ( (/) ` T ) = (/) |
36 |
34 35
|
eqtrdi |
|- ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> O = (/) ) |
37 |
36
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( le ` O ) = ( le ` (/) ) ) |
38 |
26
|
str0 |
|- (/) = ( le ` (/) ) |
39 |
37 7 38
|
3eqtr4g |
|- ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> .<_ = (/) ) |
40 |
|
reldmpsr |
|- Rel dom mPwSer |
41 |
40
|
ovprc |
|- ( -. ( I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPwSer R ) = (/) ) |
42 |
41
|
adantl |
|- ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( I mPwSer R ) = (/) ) |
43 |
1 42
|
syl5eq |
|- ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> S = (/) ) |
44 |
43
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( Base ` S ) = ( Base ` (/) ) ) |
45 |
|
base0 |
|- (/) = ( Base ` (/) ) |
46 |
44 3 45
|
3eqtr4g |
|- ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> B = (/) ) |
47 |
46
|
xpeq2d |
|- ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( B X. B ) = ( B X. (/) ) ) |
48 |
|
xp0 |
|- ( B X. (/) ) = (/) |
49 |
47 48
|
eqtrdi |
|- ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( B X. B ) = (/) ) |
50 |
|
sseq0 |
|- ( ( { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } C_ ( B X. B ) /\ ( B X. B ) = (/) ) -> { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } = (/) ) |
51 |
24 49 50
|
sylancr |
|- ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } = (/) ) |
52 |
39 51
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> .<_ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } ) |
53 |
29 52
|
pm2.61dan |
|- ( ph -> .<_ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } ) |