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Theorem opsrle

Description: An alternative expression for the set of polynomials, as the smallest subalgebra of the set of power series that contains all the variable generators. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015)

Ref Expression
Hypotheses opsrle.s
|- S = ( I mPwSer R )
opsrle.o
|- O = ( ( I ordPwSer R ) ` T )
opsrle.b
|- B = ( Base ` S )
opsrle.q
|- .< = ( lt ` R )
opsrle.c
|- C = ( T 
opsrle.d
|- D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
opsrle.l
|- .<_ = ( le ` O )
opsrle.t
|- ( ph -> T C_ ( I X. I ) )
Assertion opsrle
|- ( ph -> .<_ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 opsrle.s
 |-  S = ( I mPwSer R )
2 opsrle.o
 |-  O = ( ( I ordPwSer R ) ` T )
3 opsrle.b
 |-  B = ( Base ` S )
4 opsrle.q
 |-  .< = ( lt ` R )
5 opsrle.c
 |-  C = ( T 
6 opsrle.d
 |-  D = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
7 opsrle.l
 |-  .<_ = ( le ` O )
8 opsrle.t
 |-  ( ph -> T C_ ( I X. I ) )
9 eqid
 |-  { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) }
10 simprl
 |-  ( ( ph /\ ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> I e. _V )
11 simprr
 |-  ( ( ph /\ ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> R e. _V )
12 8 adantr
 |-  ( ( ph /\ ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> T C_ ( I X. I ) )
13 1 2 3 4 5 6 9 10 11 12 opsrval
 |-  ( ( ph /\ ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> O = ( S sSet <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } >. ) )
14 13 fveq2d
 |-  ( ( ph /\ ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( le ` O ) = ( le ` ( S sSet <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } >. ) ) )
15 1 ovexi
 |-  S e. _V
16 3 fvexi
 |-  B e. _V
17 16 16 xpex
 |-  ( B X. B ) e. _V
18 vex
 |-  x e. _V
19 vex
 |-  y e. _V
20 18 19 prss
 |-  ( ( x e. B /\ y e. B ) <-> { x , y } C_ B )
21 20 anbi1i
 |-  ( ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) <-> ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) )
22 21 opabbii
 |-  { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) }
23 opabssxp
 |-  { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } C_ ( B X. B )
24 22 23 eqsstrri
 |-  { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } C_ ( B X. B )
25 17 24 ssexi
 |-  { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } e. _V
26 pleid
 |-  le = Slot ( le ` ndx )
27 26 setsid
 |-  ( ( S e. _V /\ { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } e. _V ) -> { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } = ( le ` ( S sSet <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } >. ) ) )
28 15 25 27 mp2an
 |-  { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } = ( le ` ( S sSet <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } >. ) )
29 14 7 28 3eqtr4g
 |-  ( ( ph /\ ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> .<_ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } )
30 reldmopsr
 |-  Rel dom ordPwSer
31 30 ovprc
 |-  ( -. ( I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I ordPwSer R ) = (/) )
32 31 adantl
 |-  ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( I ordPwSer R ) = (/) )
33 32 fveq1d
 |-  ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( ( I ordPwSer R ) ` T ) = ( (/) ` T ) )
34 2 33 syl5eq
 |-  ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> O = ( (/) ` T ) )
35 0fv
 |-  ( (/) ` T ) = (/)
36 34 35 eqtrdi
 |-  ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> O = (/) )
37 36 fveq2d
 |-  ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( le ` O ) = ( le ` (/) ) )
38 26 str0
 |-  (/) = ( le ` (/) )
39 37 7 38 3eqtr4g
 |-  ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> .<_ = (/) )
40 reldmpsr
 |-  Rel dom mPwSer
41 40 ovprc
 |-  ( -. ( I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPwSer R ) = (/) )
42 41 adantl
 |-  ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( I mPwSer R ) = (/) )
43 1 42 syl5eq
 |-  ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> S = (/) )
44 43 fveq2d
 |-  ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( Base ` S ) = ( Base ` (/) ) )
45 base0
 |-  (/) = ( Base ` (/) )
46 44 3 45 3eqtr4g
 |-  ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> B = (/) )
47 46 xpeq2d
 |-  ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( B X. B ) = ( B X. (/) ) )
48 xp0
 |-  ( B X. (/) ) = (/)
49 47 48 eqtrdi
 |-  ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> ( B X. B ) = (/) )
50 sseq0
 |-  ( ( { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } C_ ( B X. B ) /\ ( B X. B ) = (/) ) -> { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } = (/) )
51 24 49 50 sylancr
 |-  ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } = (/) )
52 39 51 eqtr4d
 |-  ( ( ph /\ -. ( I e. _V /\ R e. _V ) ) -> .<_ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } )
53 29 52 pm2.61dan
 |-  ( ph -> .<_ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ B /\ ( E. z e. D ( ( x ` z ) .< ( y ` z ) /\ A. w e. D ( w C z -> ( x ` w ) = ( y ` w ) ) ) \/ x = y ) ) } )