Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
chsh |
|- ( H e. CH -> H e. SH ) |
2 |
|
shocsh |
|- ( H e. SH -> ( _|_ ` H ) e. SH ) |
3 |
|
shsss |
|- ( ( H e. SH /\ ( _|_ ` H ) e. SH ) -> ( H +H ( _|_ ` H ) ) C_ ~H ) |
4 |
1 2 3
|
syl2anc2 |
|- ( H e. CH -> ( H +H ( _|_ ` H ) ) C_ ~H ) |
5 |
|
fveq2 |
|- ( H = if ( H e. CH , H , ~H ) -> ( _|_ ` H ) = ( _|_ ` if ( H e. CH , H , ~H ) ) ) |
6 |
5
|
rexeqdv |
|- ( H = if ( H e. CH , H , ~H ) -> ( E. z e. ( _|_ ` H ) x = ( y +h z ) <-> E. z e. ( _|_ ` if ( H e. CH , H , ~H ) ) x = ( y +h z ) ) ) |
7 |
6
|
rexeqbi1dv |
|- ( H = if ( H e. CH , H , ~H ) -> ( E. y e. H E. z e. ( _|_ ` H ) x = ( y +h z ) <-> E. y e. if ( H e. CH , H , ~H ) E. z e. ( _|_ ` if ( H e. CH , H , ~H ) ) x = ( y +h z ) ) ) |
8 |
7
|
imbi2d |
|- ( H = if ( H e. CH , H , ~H ) -> ( ( x e. ~H -> E. y e. H E. z e. ( _|_ ` H ) x = ( y +h z ) ) <-> ( x e. ~H -> E. y e. if ( H e. CH , H , ~H ) E. z e. ( _|_ ` if ( H e. CH , H , ~H ) ) x = ( y +h z ) ) ) ) |
9 |
|
ifchhv |
|- if ( H e. CH , H , ~H ) e. CH |
10 |
|
id |
|- ( x e. ~H -> x e. ~H ) |
11 |
9 10
|
pjhthlem2 |
|- ( x e. ~H -> E. y e. if ( H e. CH , H , ~H ) E. z e. ( _|_ ` if ( H e. CH , H , ~H ) ) x = ( y +h z ) ) |
12 |
8 11
|
dedth |
|- ( H e. CH -> ( x e. ~H -> E. y e. H E. z e. ( _|_ ` H ) x = ( y +h z ) ) ) |
13 |
|
shsel |
|- ( ( H e. SH /\ ( _|_ ` H ) e. SH ) -> ( x e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) <-> E. y e. H E. z e. ( _|_ ` H ) x = ( y +h z ) ) ) |
14 |
1 2 13
|
syl2anc2 |
|- ( H e. CH -> ( x e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) <-> E. y e. H E. z e. ( _|_ ` H ) x = ( y +h z ) ) ) |
15 |
12 14
|
sylibrd |
|- ( H e. CH -> ( x e. ~H -> x e. ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) ) |
16 |
15
|
ssrdv |
|- ( H e. CH -> ~H C_ ( H +H ( _|_ ` H ) ) ) |
17 |
4 16
|
eqssd |
|- ( H e. CH -> ( H +H ( _|_ ` H ) ) = ~H ) |